MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpnnen2lem9 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rpnnen2lem9 15157
Description: Lemma for rpnnen2 15161. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
rpnnen2.1 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
Assertion
Ref Expression
rpnnen2lem9 (𝑀 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘) = (0 + (((1 / 3)↑(𝑀 + 1)) / (1 − (1 / 3)))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀,𝑛,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem rpnnen2lem9
StepHypRef Expression
1 eqid 2771 . . 3 (ℤ𝑀) = (ℤ𝑀)
2 nnz 11606 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
3 eqidd 2772 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘) = ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘))
4 eluznn 11966 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ)
5 difss 3888 . . . . . . 7 (ℕ ∖ {𝑀}) ⊆ ℕ
6 rpnnen2.1 . . . . . . . 8 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
76rpnnen2lem2 15150 . . . . . . 7 ((ℕ ∖ {𝑀}) ⊆ ℕ → (𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀})):ℕ⟶ℝ)
85, 7ax-mp 5 . . . . . 6 (𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀})):ℕ⟶ℝ
98ffvelrni 6503 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘) ∈ ℝ)
109recnd 10274 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘) ∈ ℂ)
114, 10syl 17 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘) ∈ ℂ)
126rpnnen2lem5 15153 . . . 4 (((ℕ ∖ {𝑀}) ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → seq𝑀( + , (𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))) ∈ dom ⇝ )
135, 12mpan 670 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ → seq𝑀( + , (𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))) ∈ dom ⇝ )
141, 2, 3, 11, 13isum1p 14780 . 2 (𝑀 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘) = (((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑀) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘)))
156rpnnen2lem1 15149 . . . . 5 (((ℕ ∖ {𝑀}) ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑀) = if(𝑀 ∈ (ℕ ∖ {𝑀}), ((1 / 3)↑𝑀), 0))
165, 15mpan 670 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑀) = if(𝑀 ∈ (ℕ ∖ {𝑀}), ((1 / 3)↑𝑀), 0))
17 neldifsnd 4460 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → ¬ 𝑀 ∈ (ℕ ∖ {𝑀}))
1817iffalsed 4237 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → if(𝑀 ∈ (ℕ ∖ {𝑀}), ((1 / 3)↑𝑀), 0) = 0)
1916, 18eqtrd 2805 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑀) = 0)
20 eqid 2771 . . . 4 (ℤ‘(𝑀 + 1)) = (ℤ‘(𝑀 + 1))
21 peano2nn 11238 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 + 1) ∈ ℕ)
2221nnzd 11688 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
23 eqidd 2772 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘) = ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘))
24 eluznn 11966 . . . . . 6 (((𝑀 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
2521, 24sylan 569 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ)
2625, 10syl 17 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘) ∈ ℂ)
27 1re 10245 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
28 3nn 11393 . . . . . . . 8 3 ∈ ℕ
29 nndivre 11262 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ) → (1 / 3) ∈ ℝ)
3027, 28, 29mp2an 672 . . . . . . 7 (1 / 3) ∈ ℝ
3130recni 10258 . . . . . 6 (1 / 3) ∈ ℂ
3231a1i 11 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → (1 / 3) ∈ ℂ)
33 0re 10246 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ
34 3re 11300 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℝ
35 3pos 11320 . . . . . . . . . 10 0 < 3
3634, 35recgt0ii 11135 . . . . . . . . 9 0 < (1 / 3)
3733, 30, 36ltleii 10366 . . . . . . . 8 0 ≤ (1 / 3)
38 absid 14244 . . . . . . . 8 (((1 / 3) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 3)) → (abs‘(1 / 3)) = (1 / 3))
3930, 37, 38mp2an 672 . . . . . . 7 (abs‘(1 / 3)) = (1 / 3)
40 1lt3 11403 . . . . . . . 8 1 < 3
41 recgt1 11125 . . . . . . . . 9 ((3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3) → (1 < 3 ↔ (1 / 3) < 1))
4234, 35, 41mp2an 672 . . . . . . . 8 (1 < 3 ↔ (1 / 3) < 1)
4340, 42mpbi 220 . . . . . . 7 (1 / 3) < 1
4439, 43eqbrtri 4808 . . . . . 6 (abs‘(1 / 3)) < 1
4544a1i 11 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → (abs‘(1 / 3)) < 1)
4621nnnn0d 11558 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 + 1) ∈ ℕ0)
476rpnnen2lem1 15149 . . . . . . . 8 (((ℕ ∖ {𝑀}) ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ (ℕ ∖ {𝑀}), ((1 / 3)↑𝑘), 0))
485, 47mpan 670 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ (ℕ ∖ {𝑀}), ((1 / 3)↑𝑘), 0))
4925, 48syl 17 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘) = if(𝑘 ∈ (ℕ ∖ {𝑀}), ((1 / 3)↑𝑘), 0))
50 nnre 11233 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
5150adantr 466 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → 𝑀 ∈ ℝ)
52 eluzle 11906 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) → (𝑀 + 1) ≤ 𝑘)
5352adantl 467 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (𝑀 + 1) ≤ 𝑘)
54 nnltp1le 11640 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑀 < 𝑘 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑘))
5525, 54syldan 579 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (𝑀 < 𝑘 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑘))
5653, 55mpbird 247 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → 𝑀 < 𝑘)
5751, 56gtned 10378 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → 𝑘𝑀)
58 eldifsn 4454 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (ℕ ∖ {𝑀}) ↔ (𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑘𝑀))
5925, 57, 58sylanbrc 572 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → 𝑘 ∈ (ℕ ∖ {𝑀}))
6059iftrued 4234 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → if(𝑘 ∈ (ℕ ∖ {𝑀}), ((1 / 3)↑𝑘), 0) = ((1 / 3)↑𝑘))
6149, 60eqtrd 2805 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → ((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘) = ((1 / 3)↑𝑘))
6232, 45, 46, 61geolim2 14809 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → seq(𝑀 + 1)( + , (𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))) ⇝ (((1 / 3)↑(𝑀 + 1)) / (1 − (1 / 3))))
6320, 22, 23, 26, 62isumclim 14696 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘) = (((1 / 3)↑(𝑀 + 1)) / (1 − (1 / 3))))
6419, 63oveq12d 6814 . 2 (𝑀 ∈ ℕ → (((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑀) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘)) = (0 + (((1 / 3)↑(𝑀 + 1)) / (1 − (1 / 3)))))
6514, 64eqtrd 2805 1 (𝑀 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑀)((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑀}))‘𝑘) = (0 + (((1 / 3)↑(𝑀 + 1)) / (1 − (1 / 3)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  cdif 3720  wss 3723  ifcif 4226  𝒫 cpw 4298  {csn 4317   class class class wbr 4787  cmpt 4864  dom cdm 5250  wf 6026  cfv 6030  (class class class)co 6796  cc 10140  cr 10141  0cc0 10142  1c1 10143   + caddc 10145   < clt 10280  cle 10281  cmin 10472   / cdiv 10890  cn 11226  3c3 11277  cuz 11893  seqcseq 13008  cexp 13067  abscabs 14182  cli 14423  Σcsu 14624
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-inf2 8706  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219  ax-pre-sup 10220
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7900  df-pm 8016  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-sup 8508  df-inf 8509  df-oi 8575  df-card 8969  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-div 10891  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-n0 11500  df-z 11585  df-uz 11894  df-rp 12036  df-ico 12386  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-limsup 14410  df-clim 14427  df-rlim 14428  df-sum 14625
This theorem is referenced by:  rpnnen2lem11  15159
  Copyright terms: Public domain W3C validator