Theorem rpnnen2lem7 15119

Description: Lemma for rpnnen2 15125. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpnnen2.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ 𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))

Assertion

Ref	Expression
rpnnen2lem7	⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)((𝐹‘𝐴)‘𝑘) ≤ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)((𝐹‘𝐵)‘𝑘))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑘,𝐴   𝐵,𝑘,𝑛,𝑥   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀,𝑛,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem rpnnen2lem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2748	. 2 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑀)
2		simp3 1130	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℕ)
3	2	nnzd 11644	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℤ)
4		eqidd 2749	. 2 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) = ((𝐹‘𝐴)‘𝑘))
5		eluznn 11922	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ)
6	2, 5	sylan 489	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ)
7		sstr 3740	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ) → 𝐴 ⊆ ℕ)
8	7	3adant3 1124	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝐴 ⊆ ℕ)
9		rpnnen2.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ 𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
10	9	rpnnen2lem2 15114	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℕ → (𝐹‘𝐴):ℕ⟶ℝ)
11	8, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝐴):ℕ⟶ℝ)
12	11	ffvelrnda 6510	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) ∈ ℝ)
13	6, 12	syldan 488	. 2 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) ∈ ℝ)
14		eqidd 2749	. 2 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝐹‘𝐵)‘𝑘) = ((𝐹‘𝐵)‘𝑘))
15	9	rpnnen2lem2 15114	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ⊆ ℕ → (𝐹‘𝐵):ℕ⟶ℝ)
16	15	3ad2ant2 1126	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝐵):ℕ⟶ℝ)
17	16	ffvelrnda 6510	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝐵)‘𝑘) ∈ ℝ)
18	6, 17	syldan 488	. 2 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝐹‘𝐵)‘𝑘) ∈ ℝ)
19	9	rpnnen2lem4 15116	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (0 ≤ ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) ∧ ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) ≤ ((𝐹‘𝐵)‘𝑘)))
20	19	simprd 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) ≤ ((𝐹‘𝐵)‘𝑘))
21	20	3expa 1111	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) ≤ ((𝐹‘𝐵)‘𝑘))
22	21	3adantl3 1154	. . 3 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) ≤ ((𝐹‘𝐵)‘𝑘))
23	6, 22	syldan 488	. 2 ⊢ (((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) ≤ ((𝐹‘𝐵)‘𝑘))
24	9	rpnnen2lem5 15117	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → seq𝑀( + , (𝐹‘𝐴)) ∈ dom ⇝ )
25	7, 24	stoic3 1838	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → seq𝑀( + , (𝐹‘𝐴)) ∈ dom ⇝ )
26	9	rpnnen2lem5 15117	. . 3 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → seq𝑀( + , (𝐹‘𝐵)) ∈ dom ⇝ )
27	26	3adant1 1122	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → seq𝑀( + , (𝐹‘𝐵)) ∈ dom ⇝ )
28	1, 3, 4, 13, 14, 18, 23, 25, 27	isumle 14746	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)((𝐹‘𝐴)‘𝑘) ≤ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)((𝐹‘𝐵)‘𝑘))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1620   ∈ wcel 2127   ⊆ wss 3703  ifcif 4218  𝒫 cpw 4290   class class class wbr 4792   ↦ cmpt 4869  dom cdm 5254  ⟶wf 6033  ‘cfv 6037  (class class class)co 6801  ℝcr 10098  0cc0 10099  1c1 10100   + caddc 10102   ≤ cle 10238   / cdiv 10847  ℕcn 11183  3c3 11234  ℤ_≥cuz 11850  seqcseq 12966  ↑cexp 13025   ⇝ cli 14385  Σcsu 14586

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-rep 4911  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-inf2 8699  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176  ax-pre-sup 10177

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-fal 1626  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rmo 3046  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-int 4616  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-se 5214  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-isom 6046  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-om 7219  df-1st 7321  df-2nd 7322  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7899  df-pm 8014  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-sup 8501  df-inf 8502  df-oi 8568  df-card 8926  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-div 10848  df-nn 11184  df-2 11242  df-3 11243  df-n0 11456  df-z 11541  df-uz 11851  df-rp 11997  df-ico 12345  df-fz 12491  df-fzo 12631  df-fl 12758  df-seq 12967  df-exp 13026  df-hash 13283  df-cj 14009  df-re 14010  df-im 14011  df-sqrt 14145  df-abs 14146  df-limsup 14372  df-clim 14389  df-rlim 14390  df-sum 14587

This theorem is referenced by:  rpnnen2lem11  15123  rpnnen2lem12  15124