MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpnnen2lem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rpnnen2lem5 15167
Description: Lemma for rpnnen2 15175. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
rpnnen2.1 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
Assertion
Ref Expression
rpnnen2lem5 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → seq𝑀( + , (𝐹𝐴)) ∈ dom ⇝ )
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝐴   𝑛,𝑀,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem rpnnen2lem5
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 11937 . . . 4 ℕ = (ℤ‘1)
2 1nn 11244 . . . . 5 1 ∈ ℕ
32a1i 11 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℕ → 1 ∈ ℕ)
4 ssid 3766 . . . . . 6 ℕ ⊆ ℕ
5 rpnnen2.1 . . . . . . 7 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
65rpnnen2lem2 15164 . . . . . 6 (ℕ ⊆ ℕ → (𝐹‘ℕ):ℕ⟶ℝ)
74, 6mp1i 13 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℕ → (𝐹‘ℕ):ℕ⟶ℝ)
87ffvelrnda 6524 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘ℕ)‘𝑘) ∈ ℝ)
95rpnnen2lem2 15164 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℕ → (𝐹𝐴):ℕ⟶ℝ)
109ffvelrnda 6524 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝐴)‘𝑘) ∈ ℝ)
115rpnnen2lem3 15165 . . . . 5 seq1( + , (𝐹‘ℕ)) ⇝ (1 / 2)
12 seqex 13018 . . . . . 6 seq1( + , (𝐹‘ℕ)) ∈ V
13 ovex 6843 . . . . . 6 (1 / 2) ∈ V
1412, 13breldm 5485 . . . . 5 (seq1( + , (𝐹‘ℕ)) ⇝ (1 / 2) → seq1( + , (𝐹‘ℕ)) ∈ dom ⇝ )
1511, 14mp1i 13 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℕ → seq1( + , (𝐹‘ℕ)) ∈ dom ⇝ )
16 elnnuz 11938 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ ↔ 𝑘 ∈ (ℤ‘1))
175rpnnen2lem4 15166 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ ℕ ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (0 ≤ ((𝐹𝐴)‘𝑘) ∧ ((𝐹𝐴)‘𝑘) ≤ ((𝐹‘ℕ)‘𝑘)))
184, 17mp3an2 1561 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (0 ≤ ((𝐹𝐴)‘𝑘) ∧ ((𝐹𝐴)‘𝑘) ≤ ((𝐹‘ℕ)‘𝑘)))
1916, 18sylan2br 494 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → (0 ≤ ((𝐹𝐴)‘𝑘) ∧ ((𝐹𝐴)‘𝑘) ≤ ((𝐹‘ℕ)‘𝑘)))
2019simpld 477 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → 0 ≤ ((𝐹𝐴)‘𝑘))
2119simprd 482 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → ((𝐹𝐴)‘𝑘) ≤ ((𝐹‘ℕ)‘𝑘))
221, 3, 8, 10, 15, 20, 21cvgcmp 14768 . . 3 (𝐴 ⊆ ℕ → seq1( + , (𝐹𝐴)) ∈ dom ⇝ )
2322adantr 472 . 2 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → seq1( + , (𝐹𝐴)) ∈ dom ⇝ )
24 simpr 479 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℕ)
2510adantlr 753 . . . 4 (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝐴)‘𝑘) ∈ ℝ)
2625recnd 10281 . . 3 (((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝐴)‘𝑘) ∈ ℂ)
271, 24, 26iserex 14607 . 2 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (seq1( + , (𝐹𝐴)) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑀( + , (𝐹𝐴)) ∈ dom ⇝ ))
2823, 27mpbid 222 1 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → seq𝑀( + , (𝐹𝐴)) ∈ dom ⇝ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2140  wss 3716  ifcif 4231  𝒫 cpw 4303   class class class wbr 4805  cmpt 4882  dom cdm 5267  wf 6046  cfv 6050  (class class class)co 6815  cr 10148  0cc0 10149  1c1 10150   + caddc 10152  cle 10288   / cdiv 10897  cn 11233  2c2 11283  3c3 11284  cuz 11900  seqcseq 13016  cexp 13075  cli 14435
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-inf2 8714  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226  ax-pre-sup 10227
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-int 4629  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-se 5227  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-isom 6059  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-om 7233  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-1o 7731  df-oadd 7735  df-er 7914  df-pm 8029  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-fin 8128  df-sup 8516  df-inf 8517  df-oi 8583  df-card 8976  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-div 10898  df-nn 11234  df-2 11292  df-3 11293  df-n0 11506  df-z 11591  df-uz 11901  df-rp 12047  df-ico 12395  df-fz 12541  df-fzo 12681  df-fl 12808  df-seq 13017  df-exp 13076  df-hash 13333  df-cj 14059  df-re 14060  df-im 14061  df-sqrt 14195  df-abs 14196  df-limsup 14422  df-clim 14439  df-rlim 14440  df-sum 14637
This theorem is referenced by:  rpnnen2lem6  15168  rpnnen2lem7  15169  rpnnen2lem8  15170  rpnnen2lem9  15171  rpnnen2lem12  15174
  Copyright terms: Public domain W3C validator