MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpnnen2lem12 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rpnnen2lem12 15153
Description: Lemma for rpnnen2 15154. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
rpnnen2.1 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
Assertion
Ref Expression
rpnnen2lem12 𝒫 ℕ ≼ (0[,]1)
Distinct variable group:   𝑥,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem rpnnen2lem12
Dummy variables 𝑚 𝑦 𝑧 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 6841 . 2 (0[,]1) ∈ V
2 elpwi 4312 . . . . 5 (𝑦 ∈ 𝒫 ℕ → 𝑦 ⊆ ℕ)
3 nnuz 11916 . . . . . . 7 ℕ = (ℤ‘1)
43sumeq1i 14627 . . . . . 6 Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑦)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ‘1)((𝐹𝑦)‘𝑘)
5 1nn 11223 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ
6 rpnnen2.1 . . . . . . . 8 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
76rpnnen2lem6 15147 . . . . . . 7 ((𝑦 ⊆ ℕ ∧ 1 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘1)((𝐹𝑦)‘𝑘) ∈ ℝ)
85, 7mpan2 709 . . . . . 6 (𝑦 ⊆ ℕ → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘1)((𝐹𝑦)‘𝑘) ∈ ℝ)
94, 8syl5eqel 2843 . . . . 5 (𝑦 ⊆ ℕ → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑦)‘𝑘) ∈ ℝ)
102, 9syl 17 . . . 4 (𝑦 ∈ 𝒫 ℕ → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑦)‘𝑘) ∈ ℝ)
11 1zzd 11600 . . . . 5 (𝑦 ∈ 𝒫 ℕ → 1 ∈ ℤ)
12 eqidd 2761 . . . . 5 ((𝑦 ∈ 𝒫 ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑦)‘𝑘) = ((𝐹𝑦)‘𝑘))
136rpnnen2lem2 15143 . . . . . . 7 (𝑦 ⊆ ℕ → (𝐹𝑦):ℕ⟶ℝ)
142, 13syl 17 . . . . . 6 (𝑦 ∈ 𝒫 ℕ → (𝐹𝑦):ℕ⟶ℝ)
1514ffvelrnda 6522 . . . . 5 ((𝑦 ∈ 𝒫 ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑦)‘𝑘) ∈ ℝ)
166rpnnen2lem5 15146 . . . . . 6 ((𝑦 ⊆ ℕ ∧ 1 ∈ ℕ) → seq1( + , (𝐹𝑦)) ∈ dom ⇝ )
172, 5, 16sylancl 697 . . . . 5 (𝑦 ∈ 𝒫 ℕ → seq1( + , (𝐹𝑦)) ∈ dom ⇝ )
18 ssid 3765 . . . . . . . 8 ℕ ⊆ ℕ
196rpnnen2lem4 15145 . . . . . . . 8 ((𝑦 ⊆ ℕ ∧ ℕ ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (0 ≤ ((𝐹𝑦)‘𝑘) ∧ ((𝐹𝑦)‘𝑘) ≤ ((𝐹‘ℕ)‘𝑘)))
2018, 19mp3an2 1561 . . . . . . 7 ((𝑦 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (0 ≤ ((𝐹𝑦)‘𝑘) ∧ ((𝐹𝑦)‘𝑘) ≤ ((𝐹‘ℕ)‘𝑘)))
2120simpld 477 . . . . . 6 ((𝑦 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((𝐹𝑦)‘𝑘))
222, 21sylan 489 . . . . 5 ((𝑦 ∈ 𝒫 ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((𝐹𝑦)‘𝑘))
233, 11, 12, 15, 17, 22isumge0 14696 . . . 4 (𝑦 ∈ 𝒫 ℕ → 0 ≤ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑦)‘𝑘))
24 halfre 11438 . . . . . 6 (1 / 2) ∈ ℝ
2524a1i 11 . . . . 5 (𝑦 ∈ 𝒫 ℕ → (1 / 2) ∈ ℝ)
26 1re 10231 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
2726a1i 11 . . . . 5 (𝑦 ∈ 𝒫 ℕ → 1 ∈ ℝ)
286rpnnen2lem7 15148 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ⊆ ℕ ∧ ℕ ⊆ ℕ ∧ 1 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘1)((𝐹𝑦)‘𝑘) ≤ Σ𝑘 ∈ (ℤ‘1)((𝐹‘ℕ)‘𝑘))
2918, 5, 28mp3an23 1565 . . . . . . . 8 (𝑦 ⊆ ℕ → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘1)((𝐹𝑦)‘𝑘) ≤ Σ𝑘 ∈ (ℤ‘1)((𝐹‘ℕ)‘𝑘))
302, 29syl 17 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ 𝒫 ℕ → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘1)((𝐹𝑦)‘𝑘) ≤ Σ𝑘 ∈ (ℤ‘1)((𝐹‘ℕ)‘𝑘))
31 eqid 2760 . . . . . . . 8 (ℤ‘1) = (ℤ‘1)
32 eqidd 2761 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ 𝒫 ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → ((𝐹‘ℕ)‘𝑘) = ((𝐹‘ℕ)‘𝑘))
33 elnnuz 11917 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ ↔ 𝑘 ∈ (ℤ‘1))
346rpnnen2lem2 15143 . . . . . . . . . . . . 13 (ℕ ⊆ ℕ → (𝐹‘ℕ):ℕ⟶ℝ)
3518, 34ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹‘ℕ):ℕ⟶ℝ
3635ffvelrni 6521 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐹‘ℕ)‘𝑘) ∈ ℝ)
3736recnd 10260 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐹‘ℕ)‘𝑘) ∈ ℂ)
3833, 37sylbir 225 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (ℤ‘1) → ((𝐹‘ℕ)‘𝑘) ∈ ℂ)
3938adantl 473 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ 𝒫 ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → ((𝐹‘ℕ)‘𝑘) ∈ ℂ)
406rpnnen2lem3 15144 . . . . . . . . 9 seq1( + , (𝐹‘ℕ)) ⇝ (1 / 2)
4140a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ 𝒫 ℕ → seq1( + , (𝐹‘ℕ)) ⇝ (1 / 2))
4231, 11, 32, 39, 41isumclim 14687 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ 𝒫 ℕ → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘1)((𝐹‘ℕ)‘𝑘) = (1 / 2))
4330, 42breqtrd 4830 . . . . . 6 (𝑦 ∈ 𝒫 ℕ → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘1)((𝐹𝑦)‘𝑘) ≤ (1 / 2))
444, 43syl5eqbr 4839 . . . . 5 (𝑦 ∈ 𝒫 ℕ → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑦)‘𝑘) ≤ (1 / 2))
45 halflt1 11442 . . . . . . 7 (1 / 2) < 1
4624, 26, 45ltleii 10352 . . . . . 6 (1 / 2) ≤ 1
4746a1i 11 . . . . 5 (𝑦 ∈ 𝒫 ℕ → (1 / 2) ≤ 1)
4810, 25, 27, 44, 47letrd 10386 . . . 4 (𝑦 ∈ 𝒫 ℕ → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑦)‘𝑘) ≤ 1)
49 0re 10232 . . . . 5 0 ∈ ℝ
5049, 26elicc2i 12432 . . . 4 𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑦)‘𝑘) ∈ (0[,]1) ↔ (Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑦)‘𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑦)‘𝑘) ∧ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑦)‘𝑘) ≤ 1))
5110, 23, 48, 50syl3anbrc 1429 . . 3 (𝑦 ∈ 𝒫 ℕ → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑦)‘𝑘) ∈ (0[,]1))
52 elpwi 4312 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ 𝒫 ℕ → 𝑧 ⊆ ℕ)
53 ssdifss 3884 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ⊆ ℕ → (𝑦𝑧) ⊆ ℕ)
54 ssdifss 3884 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ⊆ ℕ → (𝑧𝑦) ⊆ ℕ)
55 unss 3930 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦𝑧) ⊆ ℕ ∧ (𝑧𝑦) ⊆ ℕ) ↔ ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦)) ⊆ ℕ)
5655biimpi 206 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑦𝑧) ⊆ ℕ ∧ (𝑧𝑦) ⊆ ℕ) → ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦)) ⊆ ℕ)
5753, 54, 56syl2an 495 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ⊆ ℕ ∧ 𝑧 ⊆ ℕ) → ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦)) ⊆ ℕ)
582, 52, 57syl2an 495 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ 𝒫 ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 ℕ) → ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦)) ⊆ ℕ)
59 eqss 3759 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑧 ↔ (𝑦𝑧𝑧𝑦))
60 ssdif0 4085 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦𝑧 ↔ (𝑦𝑧) = ∅)
61 ssdif0 4085 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧𝑦 ↔ (𝑧𝑦) = ∅)
6260, 61anbi12i 735 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦𝑧𝑧𝑦) ↔ ((𝑦𝑧) = ∅ ∧ (𝑧𝑦) = ∅))
63 un00 4154 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦𝑧) = ∅ ∧ (𝑧𝑦) = ∅) ↔ ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦)) = ∅)
6459, 62, 633bitri 286 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑧 ↔ ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦)) = ∅)
6564necon3bii 2984 . . . . . . . . . . 11 (𝑦𝑧 ↔ ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦)) ≠ ∅)
6665biimpi 206 . . . . . . . . . 10 (𝑦𝑧 → ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦)) ≠ ∅)
67 nnwo 11946 . . . . . . . . . 10 ((((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦)) ⊆ ℕ ∧ ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦)) ≠ ∅) → ∃𝑚 ∈ ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦))∀𝑛 ∈ ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦))𝑚𝑛)
6858, 66, 67syl2an 495 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∈ 𝒫 ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 ℕ) ∧ 𝑦𝑧) → ∃𝑚 ∈ ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦))∀𝑛 ∈ ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦))𝑚𝑛)
6968ex 449 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ 𝒫 ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 ℕ) → (𝑦𝑧 → ∃𝑚 ∈ ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦))∀𝑛 ∈ ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦))𝑚𝑛))
7058sselda 3744 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 ∈ 𝒫 ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦))) → 𝑚 ∈ ℕ)
71 df-ral 3055 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑛 ∈ ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦))𝑚𝑛 ↔ ∀𝑛(𝑛 ∈ ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦)) → 𝑚𝑛))
72 con34b 305 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦)) → 𝑚𝑛) ↔ (¬ 𝑚𝑛 → ¬ 𝑛 ∈ ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦))))
73 eldif 3725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ (𝑦𝑧) ↔ (𝑛𝑦 ∧ ¬ 𝑛𝑧))
74 eldif 3725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ (𝑧𝑦) ↔ (𝑛𝑧 ∧ ¬ 𝑛𝑦))
7573, 74orbi12i 544 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛 ∈ (𝑦𝑧) ∨ 𝑛 ∈ (𝑧𝑦)) ↔ ((𝑛𝑦 ∧ ¬ 𝑛𝑧) ∨ (𝑛𝑧 ∧ ¬ 𝑛𝑦)))
76 elun 3896 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦)) ↔ (𝑛 ∈ (𝑦𝑧) ∨ 𝑛 ∈ (𝑧𝑦)))
77 xor 971 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (¬ (𝑛𝑦𝑛𝑧) ↔ ((𝑛𝑦 ∧ ¬ 𝑛𝑧) ∨ (𝑛𝑧 ∧ ¬ 𝑛𝑦)))
7875, 76, 773bitr4ri 293 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (¬ (𝑛𝑦𝑛𝑧) ↔ 𝑛 ∈ ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦)))
7978con1bii 345 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑛 ∈ ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦)) ↔ (𝑛𝑦𝑛𝑧))
8079imbi2i 325 . . . . . . . . . . . . . 14 ((¬ 𝑚𝑛 → ¬ 𝑛 ∈ ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦))) ↔ (¬ 𝑚𝑛 → (𝑛𝑦𝑛𝑧)))
8172, 80bitri 264 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦)) → 𝑚𝑛) ↔ (¬ 𝑚𝑛 → (𝑛𝑦𝑛𝑧)))
8281albii 1896 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑛(𝑛 ∈ ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦)) → 𝑚𝑛) ↔ ∀𝑛𝑚𝑛 → (𝑛𝑦𝑛𝑧)))
8371, 82bitri 264 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑛 ∈ ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦))𝑚𝑛 ↔ ∀𝑛𝑚𝑛 → (𝑛𝑦𝑛𝑧)))
84 alral 3066 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑛𝑚𝑛 → (𝑛𝑦𝑛𝑧)) → ∀𝑛 ∈ ℕ (¬ 𝑚𝑛 → (𝑛𝑦𝑛𝑧)))
85 nnre 11219 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ)
86 nnre 11219 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℝ)
87 ltnle 10309 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (𝑛 < 𝑚 ↔ ¬ 𝑚𝑛))
8885, 86, 87syl2anr 496 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 < 𝑚 ↔ ¬ 𝑚𝑛))
8988imbi1d 330 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧)) ↔ (¬ 𝑚𝑛 → (𝑛𝑦𝑛𝑧))))
9089ralbidva 3123 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℕ → (∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧)) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (¬ 𝑚𝑛 → (𝑛𝑦𝑛𝑧))))
9184, 90syl5ibr 236 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ ℕ → (∀𝑛𝑚𝑛 → (𝑛𝑦𝑛𝑧)) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧))))
9283, 91syl5bi 232 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℕ → (∀𝑛 ∈ ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦))𝑚𝑛 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧))))
9370, 92syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∈ 𝒫 ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 ℕ) ∧ 𝑚 ∈ ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦))) → (∀𝑛 ∈ ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦))𝑚𝑛 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧))))
9493reximdva 3155 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ 𝒫 ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 ℕ) → (∃𝑚 ∈ ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦))∀𝑛 ∈ ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦))𝑚𝑛 → ∃𝑚 ∈ ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦))∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧))))
9569, 94syld 47 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ 𝒫 ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 ℕ) → (𝑦𝑧 → ∃𝑚 ∈ ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦))∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧))))
96 rexun 3936 . . . . . . 7 (∃𝑚 ∈ ((𝑦𝑧) ∪ (𝑧𝑦))∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧)) ↔ (∃𝑚 ∈ (𝑦𝑧)∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧)) ∨ ∃𝑚 ∈ (𝑧𝑦)∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧))))
9795, 96syl6ib 241 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ 𝒫 ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 ℕ) → (𝑦𝑧 → (∃𝑚 ∈ (𝑦𝑧)∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧)) ∨ ∃𝑚 ∈ (𝑧𝑦)∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧)))))
98 simpll 807 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 ⊆ ℕ ∧ 𝑧 ⊆ ℕ) ∧ (𝑚 ∈ (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧)))) → 𝑦 ⊆ ℕ)
99 simplr 809 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 ⊆ ℕ ∧ 𝑧 ⊆ ℕ) ∧ (𝑚 ∈ (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧)))) → 𝑧 ⊆ ℕ)
100 simprl 811 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 ⊆ ℕ ∧ 𝑧 ⊆ ℕ) ∧ (𝑚 ∈ (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧)))) → 𝑚 ∈ (𝑦𝑧))
101 simprr 813 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 ⊆ ℕ ∧ 𝑧 ⊆ ℕ) ∧ (𝑚 ∈ (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧)))) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧)))
102 biid 251 . . . . . . . . . 10 𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑦)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑧)‘𝑘) ↔ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑦)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑧)‘𝑘))
1036, 98, 99, 100, 101, 102rpnnen2lem11 15152 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ⊆ ℕ ∧ 𝑧 ⊆ ℕ) ∧ (𝑚 ∈ (𝑦𝑧) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧)))) → ¬ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑦)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑧)‘𝑘))
104103rexlimdvaa 3170 . . . . . . . 8 ((𝑦 ⊆ ℕ ∧ 𝑧 ⊆ ℕ) → (∃𝑚 ∈ (𝑦𝑧)∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧)) → ¬ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑦)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑧)‘𝑘)))
105 simplr 809 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 ⊆ ℕ ∧ 𝑧 ⊆ ℕ) ∧ (𝑚 ∈ (𝑧𝑦) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧)))) → 𝑧 ⊆ ℕ)
106 simpll 807 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 ⊆ ℕ ∧ 𝑧 ⊆ ℕ) ∧ (𝑚 ∈ (𝑧𝑦) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧)))) → 𝑦 ⊆ ℕ)
107 simprl 811 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 ⊆ ℕ ∧ 𝑧 ⊆ ℕ) ∧ (𝑚 ∈ (𝑧𝑦) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧)))) → 𝑚 ∈ (𝑧𝑦))
108 simprr 813 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦 ⊆ ℕ ∧ 𝑧 ⊆ ℕ) ∧ (𝑚 ∈ (𝑧𝑦) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧)))) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧)))
109 bicom 212 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛𝑧𝑛𝑦) ↔ (𝑛𝑦𝑛𝑧))
110109imbi2i 325 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑧𝑛𝑦)) ↔ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧)))
111110ralbii 3118 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑧𝑛𝑦)) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧)))
112108, 111sylibr 224 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 ⊆ ℕ ∧ 𝑧 ⊆ ℕ) ∧ (𝑚 ∈ (𝑧𝑦) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧)))) → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑧𝑛𝑦)))
113 eqcom 2767 . . . . . . . . . 10 𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑦)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑧)‘𝑘) ↔ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑧)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑦)‘𝑘))
1146, 105, 106, 107, 112, 113rpnnen2lem11 15152 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ⊆ ℕ ∧ 𝑧 ⊆ ℕ) ∧ (𝑚 ∈ (𝑧𝑦) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧)))) → ¬ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑦)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑧)‘𝑘))
115114rexlimdvaa 3170 . . . . . . . 8 ((𝑦 ⊆ ℕ ∧ 𝑧 ⊆ ℕ) → (∃𝑚 ∈ (𝑧𝑦)∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧)) → ¬ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑦)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑧)‘𝑘)))
116104, 115jaod 394 . . . . . . 7 ((𝑦 ⊆ ℕ ∧ 𝑧 ⊆ ℕ) → ((∃𝑚 ∈ (𝑦𝑧)∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧)) ∨ ∃𝑚 ∈ (𝑧𝑦)∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧))) → ¬ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑦)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑧)‘𝑘)))
1172, 52, 116syl2an 495 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ 𝒫 ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 ℕ) → ((∃𝑚 ∈ (𝑦𝑧)∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧)) ∨ ∃𝑚 ∈ (𝑧𝑦)∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝑦𝑛𝑧))) → ¬ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑦)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑧)‘𝑘)))
11897, 117syld 47 . . . . 5 ((𝑦 ∈ 𝒫 ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 ℕ) → (𝑦𝑧 → ¬ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑦)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑧)‘𝑘)))
119118necon4ad 2951 . . . 4 ((𝑦 ∈ 𝒫 ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 ℕ) → (Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑦)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑧)‘𝑘) → 𝑦 = 𝑧))
120 fveq2 6352 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑧 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑧))
121120fveq1d 6354 . . . . 5 (𝑦 = 𝑧 → ((𝐹𝑦)‘𝑘) = ((𝐹𝑧)‘𝑘))
122121sumeq2sdv 14634 . . . 4 (𝑦 = 𝑧 → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑦)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑧)‘𝑘))
123119, 122impbid1 215 . . 3 ((𝑦 ∈ 𝒫 ℕ ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 ℕ) → (Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑦)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝑧)‘𝑘) ↔ 𝑦 = 𝑧))
12451, 123dom2 8164 . 2 ((0[,]1) ∈ V → 𝒫 ℕ ≼ (0[,]1))
1251, 124ax-mp 5 1 𝒫 ℕ ≼ (0[,]1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383  wal 1630   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  wral 3050  wrex 3051  Vcvv 3340  cdif 3712  cun 3713  wss 3715  c0 4058  ifcif 4230  𝒫 cpw 4302   class class class wbr 4804  cmpt 4881  dom cdm 5266  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6813  cdom 8119  cc 10126  cr 10127  0cc0 10128  1c1 10129   + caddc 10131   < clt 10266  cle 10267   / cdiv 10876  cn 11212  2c2 11262  3c3 11263  cuz 11879  [,]cicc 12371  seqcseq 12995  cexp 13054  cli 14414  Σcsu 14615
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-pm 8026  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-sup 8513  df-inf 8514  df-oi 8580  df-card 8955  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-rp 12026  df-ico 12374  df-icc 12375  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-fl 12787  df-seq 12996  df-exp 13055  df-hash 13312  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-limsup 14401  df-clim 14418  df-rlim 14419  df-sum 14616
This theorem is referenced by:  rpnnen2  15154
  Copyright terms: Public domain W3C validator