MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpnnen2lem11 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rpnnen2lem11 15173
Description: Lemma for rpnnen2 15175. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
rpnnen2.1 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
rpnnen2.2 (𝜑𝐴 ⊆ ℕ)
rpnnen2.3 (𝜑𝐵 ⊆ ℕ)
rpnnen2.4 (𝜑𝑚 ∈ (𝐴𝐵))
rpnnen2.5 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝐴𝑛𝐵)))
rpnnen2.6 (𝜓 ↔ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝐴)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝐵)‘𝑘))
Assertion
Ref Expression
rpnnen2lem11 (𝜑 → ¬ 𝜓)
Distinct variable groups:   𝑚,𝑛,𝑥,𝑘   𝐴,𝑘,𝑛,𝑥   𝐵,𝑘,𝑛,𝑥   𝑘,𝑚,𝐹   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑚,𝑛)   𝜓(𝑥,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐴(𝑚)   𝐵(𝑚)   𝐹(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem rpnnen2lem11
StepHypRef Expression
1 rpnnen2.3 . . . 4 (𝜑𝐵 ⊆ ℕ)
2 rpnnen2.2 . . . . 5 (𝜑𝐴 ⊆ ℕ)
3 rpnnen2.4 . . . . 5 (𝜑𝑚 ∈ (𝐴𝐵))
4 eldifi 3876 . . . . . 6 (𝑚 ∈ (𝐴𝐵) → 𝑚𝐴)
5 ssel2 3740 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑚𝐴) → 𝑚 ∈ ℕ)
64, 5sylan2 492 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (𝐴𝐵)) → 𝑚 ∈ ℕ)
72, 3, 6syl2anc 696 . . . 4 (𝜑𝑚 ∈ ℕ)
8 rpnnen2.1 . . . . 5 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
98rpnnen2lem6 15168 . . . 4 ((𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐵)‘𝑘) ∈ ℝ)
101, 7, 9syl2anc 696 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐵)‘𝑘) ∈ ℝ)
11 3nn 11399 . . . . . 6 3 ∈ ℕ
12 nnrecre 11270 . . . . . 6 (3 ∈ ℕ → (1 / 3) ∈ ℝ)
1311, 12ax-mp 5 . . . . 5 (1 / 3) ∈ ℝ
147nnnn0d 11564 . . . . 5 (𝜑𝑚 ∈ ℕ0)
15 reexpcl 13092 . . . . 5 (((1 / 3) ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((1 / 3)↑𝑚) ∈ ℝ)
1613, 14, 15sylancr 698 . . . 4 (𝜑 → ((1 / 3)↑𝑚) ∈ ℝ)
178rpnnen2lem6 15168 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐴)‘𝑘) ∈ ℝ)
182, 7, 17syl2anc 696 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐴)‘𝑘) ∈ ℝ)
19 nnrp 12056 . . . . . . . . 9 (3 ∈ ℕ → 3 ∈ ℝ+)
20 rpreccl 12071 . . . . . . . . 9 (3 ∈ ℝ+ → (1 / 3) ∈ ℝ+)
2111, 19, 20mp2b 10 . . . . . . . 8 (1 / 3) ∈ ℝ+
227nnzd 11694 . . . . . . . 8 (𝜑𝑚 ∈ ℤ)
23 rpexpcl 13094 . . . . . . . 8 (((1 / 3) ∈ ℝ+𝑚 ∈ ℤ) → ((1 / 3)↑𝑚) ∈ ℝ+)
2421, 22, 23sylancr 698 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 / 3)↑𝑚) ∈ ℝ+)
2524rpred 12086 . . . . . 6 (𝜑 → ((1 / 3)↑𝑚) ∈ ℝ)
2625rehalfcld 11492 . . . . 5 (𝜑 → (((1 / 3)↑𝑚) / 2) ∈ ℝ)
273snssd 4486 . . . . . . . . 9 (𝜑 → {𝑚} ⊆ (𝐴𝐵))
282ssdifd 3890 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴𝐵) ⊆ (ℕ ∖ 𝐵))
2927, 28sstrd 3755 . . . . . . . 8 (𝜑 → {𝑚} ⊆ (ℕ ∖ 𝐵))
307snssd 4486 . . . . . . . . 9 (𝜑 → {𝑚} ⊆ ℕ)
31 ssconb 3887 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ⊆ ℕ ∧ {𝑚} ⊆ ℕ) → (𝐵 ⊆ (ℕ ∖ {𝑚}) ↔ {𝑚} ⊆ (ℕ ∖ 𝐵)))
321, 30, 31syl2anc 696 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵 ⊆ (ℕ ∖ {𝑚}) ↔ {𝑚} ⊆ (ℕ ∖ 𝐵)))
3329, 32mpbird 247 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ⊆ (ℕ ∖ {𝑚}))
34 difssd 3882 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℕ ∖ {𝑚}) ⊆ ℕ)
358rpnnen2lem7 15169 . . . . . . 7 ((𝐵 ⊆ (ℕ ∖ {𝑚}) ∧ (ℕ ∖ {𝑚}) ⊆ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐵)‘𝑘) ≤ Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑚}))‘𝑘))
3633, 34, 7, 35syl3anc 1477 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐵)‘𝑘) ≤ Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑚}))‘𝑘))
378rpnnen2lem9 15171 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑚}))‘𝑘) = (0 + (((1 / 3)↑(𝑚 + 1)) / (1 − (1 / 3)))))
387, 37syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑚}))‘𝑘) = (0 + (((1 / 3)↑(𝑚 + 1)) / (1 − (1 / 3)))))
3913recni 10265 . . . . . . . . . . . 12 (1 / 3) ∈ ℂ
40 expp1 13082 . . . . . . . . . . . 12 (((1 / 3) ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((1 / 3)↑(𝑚 + 1)) = (((1 / 3)↑𝑚) · (1 / 3)))
4139, 14, 40sylancr 698 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((1 / 3)↑(𝑚 + 1)) = (((1 / 3)↑𝑚) · (1 / 3)))
4225recnd 10281 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((1 / 3)↑𝑚) ∈ ℂ)
43 3cn 11308 . . . . . . . . . . . . 13 3 ∈ ℂ
44 3ne0 11328 . . . . . . . . . . . . 13 3 ≠ 0
45 divrec 10914 . . . . . . . . . . . . 13 ((((1 / 3)↑𝑚) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0) → (((1 / 3)↑𝑚) / 3) = (((1 / 3)↑𝑚) · (1 / 3)))
4643, 44, 45mp3an23 1565 . . . . . . . . . . . 12 (((1 / 3)↑𝑚) ∈ ℂ → (((1 / 3)↑𝑚) / 3) = (((1 / 3)↑𝑚) · (1 / 3)))
4742, 46syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((1 / 3)↑𝑚) / 3) = (((1 / 3)↑𝑚) · (1 / 3)))
4841, 47eqtr4d 2798 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((1 / 3)↑(𝑚 + 1)) = (((1 / 3)↑𝑚) / 3))
4948oveq1d 6830 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((1 / 3)↑(𝑚 + 1)) / (1 − (1 / 3))) = ((((1 / 3)↑𝑚) / 3) / (1 − (1 / 3))))
50 ax-1cn 10207 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℂ
5143, 44pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . . 13 (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)
52 divsubdir 10934 . . . . . . . . . . . . 13 ((3 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)) → ((3 − 1) / 3) = ((3 / 3) − (1 / 3)))
5343, 50, 51, 52mp3an 1573 . . . . . . . . . . . 12 ((3 − 1) / 3) = ((3 / 3) − (1 / 3))
54 3m1e2 11350 . . . . . . . . . . . . 13 (3 − 1) = 2
5554oveq1i 6825 . . . . . . . . . . . 12 ((3 − 1) / 3) = (2 / 3)
5643, 44dividi 10971 . . . . . . . . . . . . 13 (3 / 3) = 1
5756oveq1i 6825 . . . . . . . . . . . 12 ((3 / 3) − (1 / 3)) = (1 − (1 / 3))
5853, 55, 573eqtr3ri 2792 . . . . . . . . . . 11 (1 − (1 / 3)) = (2 / 3)
5958oveq2i 6826 . . . . . . . . . 10 ((((1 / 3)↑𝑚) / 3) / (1 − (1 / 3))) = ((((1 / 3)↑𝑚) / 3) / (2 / 3))
60 2cnne0 11455 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
61 divcan7 10947 . . . . . . . . . . . 12 ((((1 / 3)↑𝑚) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)) → ((((1 / 3)↑𝑚) / 3) / (2 / 3)) = (((1 / 3)↑𝑚) / 2))
6260, 51, 61mp3an23 1565 . . . . . . . . . . 11 (((1 / 3)↑𝑚) ∈ ℂ → ((((1 / 3)↑𝑚) / 3) / (2 / 3)) = (((1 / 3)↑𝑚) / 2))
6342, 62syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((1 / 3)↑𝑚) / 3) / (2 / 3)) = (((1 / 3)↑𝑚) / 2))
6459, 63syl5eq 2807 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((((1 / 3)↑𝑚) / 3) / (1 − (1 / 3))) = (((1 / 3)↑𝑚) / 2))
6549, 64eqtrd 2795 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((1 / 3)↑(𝑚 + 1)) / (1 − (1 / 3))) = (((1 / 3)↑𝑚) / 2))
6665oveq2d 6831 . . . . . . 7 (𝜑 → (0 + (((1 / 3)↑(𝑚 + 1)) / (1 − (1 / 3)))) = (0 + (((1 / 3)↑𝑚) / 2)))
6726recnd 10281 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((1 / 3)↑𝑚) / 2) ∈ ℂ)
6867addid2d 10450 . . . . . . 7 (𝜑 → (0 + (((1 / 3)↑𝑚) / 2)) = (((1 / 3)↑𝑚) / 2))
6938, 66, 683eqtrd 2799 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑚}))‘𝑘) = (((1 / 3)↑𝑚) / 2))
7036, 69breqtrd 4831 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐵)‘𝑘) ≤ (((1 / 3)↑𝑚) / 2))
71 rphalflt 12074 . . . . . 6 (((1 / 3)↑𝑚) ∈ ℝ+ → (((1 / 3)↑𝑚) / 2) < ((1 / 3)↑𝑚))
7224, 71syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (((1 / 3)↑𝑚) / 2) < ((1 / 3)↑𝑚))
7310, 26, 25, 70, 72lelttrd 10408 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐵)‘𝑘) < ((1 / 3)↑𝑚))
74 eluznn 11972 . . . . . . . . 9 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑚)) → 𝑘 ∈ ℕ)
757, 74sylan 489 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑚)) → 𝑘 ∈ ℕ)
768rpnnen2lem1 15163 . . . . . . . . 9 (({𝑚} ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘{𝑚})‘𝑘) = if(𝑘 ∈ {𝑚}, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
7730, 76sylan 489 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘{𝑚})‘𝑘) = if(𝑘 ∈ {𝑚}, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
7875, 77syldan 488 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑚)) → ((𝐹‘{𝑚})‘𝑘) = if(𝑘 ∈ {𝑚}, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
7978sumeq2dv 14653 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹‘{𝑚})‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)if(𝑘 ∈ {𝑚}, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
80 uzid 11915 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℤ → 𝑚 ∈ (ℤ𝑚))
8122, 80syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑚))
8281snssd 4486 . . . . . . 7 (𝜑 → {𝑚} ⊆ (ℤ𝑚))
83 vex 3344 . . . . . . . . 9 𝑚 ∈ V
84 oveq2 6823 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑚 → ((1 / 3)↑𝑘) = ((1 / 3)↑𝑚))
8584eleq1d 2825 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑚 → (((1 / 3)↑𝑘) ∈ ℂ ↔ ((1 / 3)↑𝑚) ∈ ℂ))
8683, 85ralsn 4367 . . . . . . . 8 (∀𝑘 ∈ {𝑚} ((1 / 3)↑𝑘) ∈ ℂ ↔ ((1 / 3)↑𝑚) ∈ ℂ)
8742, 86sylibr 224 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ {𝑚} ((1 / 3)↑𝑘) ∈ ℂ)
88 ssid 3766 . . . . . . . . 9 (ℤ𝑚) ⊆ (ℤ𝑚)
8988a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℤ𝑚) ⊆ (ℤ𝑚))
9089orcd 406 . . . . . . 7 (𝜑 → ((ℤ𝑚) ⊆ (ℤ𝑚) ∨ (ℤ𝑚) ∈ Fin))
91 sumss2 14677 . . . . . . 7 ((({𝑚} ⊆ (ℤ𝑚) ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑚} ((1 / 3)↑𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((ℤ𝑚) ⊆ (ℤ𝑚) ∨ (ℤ𝑚) ∈ Fin)) → Σ𝑘 ∈ {𝑚} ((1 / 3)↑𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)if(𝑘 ∈ {𝑚}, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
9282, 87, 90, 91syl21anc 1476 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝑚} ((1 / 3)↑𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)if(𝑘 ∈ {𝑚}, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
9384sumsn 14695 . . . . . . 7 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ ((1 / 3)↑𝑚) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝑚} ((1 / 3)↑𝑘) = ((1 / 3)↑𝑚))
947, 42, 93syl2anc 696 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝑚} ((1 / 3)↑𝑘) = ((1 / 3)↑𝑚))
9579, 92, 943eqtr2d 2801 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹‘{𝑚})‘𝑘) = ((1 / 3)↑𝑚))
963, 4syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑚𝐴)
9796snssd 4486 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑚} ⊆ 𝐴)
988rpnnen2lem7 15169 . . . . . 6 (({𝑚} ⊆ 𝐴𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹‘{𝑚})‘𝑘) ≤ Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐴)‘𝑘))
9997, 2, 7, 98syl3anc 1477 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹‘{𝑚})‘𝑘) ≤ Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐴)‘𝑘))
10095, 99eqbrtrrd 4829 . . . 4 (𝜑 → ((1 / 3)↑𝑚) ≤ Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐴)‘𝑘))
10110, 16, 18, 73, 100ltletrd 10410 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐵)‘𝑘) < Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐴)‘𝑘))
10210, 101gtned 10385 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐴)‘𝑘) ≠ Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐵)‘𝑘))
103 rpnnen2.5 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝐴𝑛𝐵)))
104 rpnnen2.6 . . . . 5 (𝜓 ↔ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝐴)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝐵)‘𝑘))
1058, 2, 1, 3, 103, 104rpnnen2lem10 15172 . . . 4 ((𝜑𝜓) → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐴)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐵)‘𝑘))
106105ex 449 . . 3 (𝜑 → (𝜓 → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐴)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐵)‘𝑘)))
107106necon3ad 2946 . 2 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐴)‘𝑘) ≠ Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐵)‘𝑘) → ¬ 𝜓))
108102, 107mpd 15 1 (𝜑 → ¬ 𝜓)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383   = wceq 1632  wcel 2140  wne 2933  wral 3051  cdif 3713  wss 3716  ifcif 4231  𝒫 cpw 4303  {csn 4322   class class class wbr 4805  cmpt 4882  cfv 6050  (class class class)co 6815  Fincfn 8124  cc 10147  cr 10148  0cc0 10149  1c1 10150   + caddc 10152   · cmul 10154   < clt 10287  cle 10288  cmin 10479   / cdiv 10897  cn 11233  2c2 11283  3c3 11284  0cn0 11505  cz 11590  cuz 11900  +crp 12046  cexp 13075  Σcsu 14636
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-inf2 8714  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226  ax-pre-sup 10227
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-int 4629  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-se 5227  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-isom 6059  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-om 7233  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-1o 7731  df-oadd 7735  df-er 7914  df-pm 8029  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-fin 8128  df-sup 8516  df-inf 8517  df-oi 8583  df-card 8976  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-div 10898  df-nn 11234  df-2 11292  df-3 11293  df-n0 11506  df-z 11591  df-uz 11901  df-rp 12047  df-ico 12395  df-fz 12541  df-fzo 12681  df-fl 12808  df-seq 13017  df-exp 13076  df-hash 13333  df-cj 14059  df-re 14060  df-im 14061  df-sqrt 14195  df-abs 14196  df-limsup 14422  df-clim 14439  df-rlim 14440  df-sum 14637
This theorem is referenced by:  rpnnen2lem12  15174
  Copyright terms: Public domain W3C validator