MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpnnen2lem10 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rpnnen2lem10 15180
Description: Lemma for rpnnen2 15183. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rpnnen2.1 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
rpnnen2.2 (𝜑𝐴 ⊆ ℕ)
rpnnen2.3 (𝜑𝐵 ⊆ ℕ)
rpnnen2.4 (𝜑𝑚 ∈ (𝐴𝐵))
rpnnen2.5 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝐴𝑛𝐵)))
rpnnen2.6 (𝜓 ↔ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝐴)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝐵)‘𝑘))
Assertion
Ref Expression
rpnnen2lem10 ((𝜑𝜓) → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐴)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐵)‘𝑘))
Distinct variable groups:   𝑚,𝑛,𝑥,𝑘   𝐴,𝑘,𝑛,𝑥   𝐵,𝑘,𝑛,𝑥   𝑘,𝑚,𝐹   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑚,𝑛)   𝜓(𝑥,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐴(𝑚)   𝐵(𝑚)   𝐹(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem rpnnen2lem10
StepHypRef Expression
1 simpr 472 . . . 4 ((𝜑𝜓) → 𝜓)
2 rpnnen2.6 . . . 4 (𝜓 ↔ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝐴)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝐵)‘𝑘))
31, 2sylib 209 . . 3 ((𝜑𝜓) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝐴)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝐵)‘𝑘))
4 rpnnen2.2 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ⊆ ℕ)
5 rpnnen2.4 . . . . . . 7 (𝜑𝑚 ∈ (𝐴𝐵))
6 eldifi 3890 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ (𝐴𝐵) → 𝑚𝐴)
7 ssel2 3753 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑚𝐴) → 𝑚 ∈ ℕ)
86, 7sylan2 581 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (𝐴𝐵)) → 𝑚 ∈ ℕ)
94, 5, 8syl2anc 574 . . . . . 6 (𝜑𝑚 ∈ ℕ)
10 rpnnen2.1 . . . . . . 7 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
1110rpnnen2lem8 15178 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝐴)‘𝑘) = (Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹𝐴)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐴)‘𝑘)))
124, 9, 11syl2anc 574 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝐴)‘𝑘) = (Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹𝐴)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐴)‘𝑘)))
13 1z 11631 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℤ
14 nnz 11623 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℤ)
15 elfzm11 12640 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1)) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑘𝑘 < 𝑚)))
1613, 14, 15sylancr 576 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1)) ↔ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑘𝑘 < 𝑚)))
1716biimpa 463 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑘𝑘 < 𝑚))
189, 17sylan 570 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))) → (𝑘 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑘𝑘 < 𝑚))
1918simp3d 1165 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))) → 𝑘 < 𝑚)
20 rpnnen2.5 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝐴𝑛𝐵)))
21 elfznn 12599 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ)
22 breq1 4800 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 < 𝑚𝑘 < 𝑚))
23 eleq1w 2836 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛𝐴𝑘𝐴))
24 eleq1w 2836 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛𝐵𝑘𝐵))
2523, 24bibi12d 335 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑘 → ((𝑛𝐴𝑛𝐵) ↔ (𝑘𝐴𝑘𝐵)))
2622, 25imbi12d 334 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑘 → ((𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝐴𝑛𝐵)) ↔ (𝑘 < 𝑚 → (𝑘𝐴𝑘𝐵))))
2726rspccva 3464 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝐴𝑛𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 < 𝑚 → (𝑘𝐴𝑘𝐵)))
2820, 21, 27syl2an 584 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))) → (𝑘 < 𝑚 → (𝑘𝐴𝑘𝐵)))
2919, 28mpd 15 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))) → (𝑘𝐴𝑘𝐵))
3029ifbid 4257 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))) → if(𝑘𝐴, ((1 / 3)↑𝑘), 0) = if(𝑘𝐵, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
3110rpnnen2lem1 15171 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝐴)‘𝑘) = if(𝑘𝐴, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
324, 21, 31syl2an 584 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))) → ((𝐹𝐴)‘𝑘) = if(𝑘𝐴, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
33 rpnnen2.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ⊆ ℕ)
3410rpnnen2lem1 15171 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝐵)‘𝑘) = if(𝑘𝐵, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
3533, 21, 34syl2an 584 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))) → ((𝐹𝐵)‘𝑘) = if(𝑘𝐵, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
3630, 32, 353eqtr4d 2818 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))) → ((𝐹𝐴)‘𝑘) = ((𝐹𝐵)‘𝑘))
3736sumeq2dv 14663 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹𝐴)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑘))
3837oveq1d 6827 . . . . 5 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹𝐴)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐴)‘𝑘)) = (Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐴)‘𝑘)))
3912, 38eqtrd 2808 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝐴)‘𝑘) = (Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐴)‘𝑘)))
4039adantr 467 . . 3 ((𝜑𝜓) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝐴)‘𝑘) = (Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐴)‘𝑘)))
4110rpnnen2lem8 15178 . . . . 5 ((𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝐵)‘𝑘) = (Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐵)‘𝑘)))
4233, 9, 41syl2anc 574 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝐵)‘𝑘) = (Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐵)‘𝑘)))
4342adantr 467 . . 3 ((𝜑𝜓) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝐵)‘𝑘) = (Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐵)‘𝑘)))
443, 40, 433eqtr3d 2816 . 2 ((𝜑𝜓) → (Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐴)‘𝑘)) = (Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐵)‘𝑘)))
4510rpnnen2lem6 15176 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐴)‘𝑘) ∈ ℝ)
464, 9, 45syl2anc 574 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐴)‘𝑘) ∈ ℝ)
4710rpnnen2lem6 15176 . . . . 5 ((𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐵)‘𝑘) ∈ ℝ)
4833, 9, 47syl2anc 574 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐵)‘𝑘) ∈ ℝ)
49 fzfid 13002 . . . . 5 (𝜑 → (1...(𝑚 − 1)) ∈ Fin)
5010rpnnen2lem2 15172 . . . . . . 7 (𝐵 ⊆ ℕ → (𝐹𝐵):ℕ⟶ℝ)
5133, 50syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝐵):ℕ⟶ℝ)
52 ffvelrn 6517 . . . . . 6 (((𝐹𝐵):ℕ⟶ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝐵)‘𝑘) ∈ ℝ)
5351, 21, 52syl2an 584 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))) → ((𝐹𝐵)‘𝑘) ∈ ℝ)
5449, 53fsumrecl 14695 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑘) ∈ ℝ)
55 readdcan 10433 . . . 4 ((Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐴)‘𝑘) ∈ ℝ ∧ Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐵)‘𝑘) ∈ ℝ ∧ Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑘) ∈ ℝ) → ((Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐴)‘𝑘)) = (Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐵)‘𝑘)) ↔ Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐴)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐵)‘𝑘)))
5646, 48, 54, 55syl3anc 1480 . . 3 (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐴)‘𝑘)) = (Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐵)‘𝑘)) ↔ Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐴)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐵)‘𝑘)))
5756adantr 467 . 2 ((𝜑𝜓) → ((Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐴)‘𝑘)) = (Σ𝑘 ∈ (1...(𝑚 − 1))((𝐹𝐵)‘𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐵)‘𝑘)) ↔ Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐴)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐵)‘𝑘)))
5844, 57mpbid 223 1 ((𝜑𝜓) → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐴)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐵)‘𝑘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 383  w3a 1098   = wceq 1634  wcel 2148  wral 3064  cdif 3726  wss 3729  ifcif 4235  𝒫 cpw 4307   class class class wbr 4797  cmpt 4876  wf 6038  cfv 6042  (class class class)co 6812  cr 10158  0cc0 10159  1c1 10160   + caddc 10162   < clt 10297  cle 10298  cmin 10489   / cdiv 10907  cn 11243  3c3 11294  cz 11601  cuz 11910  ...cfz 12555  cexp 13089  Σcsu 14646
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1873  ax-4 1888  ax-5 1994  ax-6 2060  ax-7 2096  ax-8 2150  ax-9 2157  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2206  ax-13 2411  ax-ext 2754  ax-rep 4917  ax-sep 4928  ax-nul 4936  ax-pow 4988  ax-pr 5048  ax-un 7117  ax-inf2 8723  ax-cnex 10215  ax-resscn 10216  ax-1cn 10217  ax-icn 10218  ax-addcl 10219  ax-addrcl 10220  ax-mulcl 10221  ax-mulrcl 10222  ax-mulcom 10223  ax-addass 10224  ax-mulass 10225  ax-distr 10226  ax-i2m1 10227  ax-1ne0 10228  ax-1rid 10229  ax-rnegex 10230  ax-rrecex 10231  ax-cnre 10232  ax-pre-lttri 10233  ax-pre-lttrn 10234  ax-pre-ltadd 10235  ax-pre-mulgt0 10236  ax-pre-sup 10237
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 384  df-or 864  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1637  df-fal 1640  df-ex 1856  df-nf 1861  df-sb 2053  df-eu 2625  df-mo 2626  df-clab 2761  df-cleq 2767  df-clel 2770  df-nfc 2905  df-ne 2947  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3357  df-sbc 3594  df-csb 3689  df-dif 3732  df-un 3734  df-in 3736  df-ss 3743  df-pss 3745  df-nul 4074  df-if 4236  df-pw 4309  df-sn 4327  df-pr 4329  df-tp 4331  df-op 4333  df-uni 4586  df-int 4623  df-iun 4667  df-br 4798  df-opab 4860  df-mpt 4877  df-tr 4900  df-id 5171  df-eprel 5176  df-po 5184  df-so 5185  df-fr 5222  df-se 5223  df-we 5224  df-xp 5269  df-rel 5270  df-cnv 5271  df-co 5272  df-dm 5273  df-rn 5274  df-res 5275  df-ima 5276  df-pred 5834  df-ord 5880  df-on 5881  df-lim 5882  df-suc 5883  df-iota 6005  df-fun 6044  df-fn 6045  df-f 6046  df-f1 6047  df-fo 6048  df-f1o 6049  df-fv 6050  df-isom 6051  df-riota 6773  df-ov 6815  df-oprab 6816  df-mpt2 6817  df-om 7234  df-1st 7336  df-2nd 7337  df-wrecs 7580  df-recs 7642  df-rdg 7680  df-1o 7734  df-oadd 7738  df-er 7917  df-pm 8033  df-en 8131  df-dom 8132  df-sdom 8133  df-fin 8134  df-sup 8525  df-inf 8526  df-oi 8592  df-card 8986  df-pnf 10299  df-mnf 10300  df-xr 10301  df-ltxr 10302  df-le 10303  df-sub 10491  df-neg 10492  df-div 10908  df-nn 11244  df-2 11302  df-3 11303  df-n0 11517  df-z 11602  df-uz 11911  df-rp 12053  df-ico 12405  df-fz 12556  df-fzo 12696  df-fl 12823  df-seq 13031  df-exp 13090  df-hash 13344  df-cj 14069  df-re 14070  df-im 14071  df-sqrt 14205  df-abs 14206  df-limsup 14432  df-clim 14449  df-rlim 14450  df-sum 14647
This theorem is referenced by:  rpnnen2lem11  15181
  Copyright terms: Public domain W3C validator