Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpnnen2lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rpnnen2lem1 15149
 Description: Lemma for rpnnen2 15161. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
rpnnen2.1 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
Assertion
Ref Expression
rpnnen2lem1 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹𝐴)‘𝑁) = if(𝑁𝐴, ((1 / 3)↑𝑁), 0))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝐴   𝑛,𝑁
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑛)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem rpnnen2lem1
StepHypRef Expression
1 nnex 11228 . . . . 5 ℕ ∈ V
21elpw2 4959 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝒫 ℕ ↔ 𝐴 ⊆ ℕ)
3 eleq2 2839 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐴 → (𝑛𝑥𝑛𝐴))
43ifbid 4247 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → if(𝑛𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0) = if(𝑛𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0))
54mpteq2dv 4879 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
6 rpnnen2.1 . . . . 5 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
71mptex 6630 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0)) ∈ V
85, 6, 7fvmpt 6424 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝒫 ℕ → (𝐹𝐴) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
92, 8sylbir 225 . . 3 (𝐴 ⊆ ℕ → (𝐹𝐴) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
109fveq1d 6334 . 2 (𝐴 ⊆ ℕ → ((𝐹𝐴)‘𝑁) = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0))‘𝑁))
11 eleq1 2838 . . . 4 (𝑛 = 𝑁 → (𝑛𝐴𝑁𝐴))
12 oveq2 6801 . . . 4 (𝑛 = 𝑁 → ((1 / 3)↑𝑛) = ((1 / 3)↑𝑁))
1311, 12ifbieq1d 4248 . . 3 (𝑛 = 𝑁 → if(𝑛𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0) = if(𝑁𝐴, ((1 / 3)↑𝑁), 0))
14 eqid 2771 . . 3 (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0))
15 ovex 6823 . . . 4 ((1 / 3)↑𝑁) ∈ V
16 c0ex 10236 . . . 4 0 ∈ V
1715, 16ifex 4295 . . 3 if(𝑁𝐴, ((1 / 3)↑𝑁), 0) ∈ V
1813, 14, 17fvmpt 6424 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝐴, ((1 / 3)↑𝑛), 0))‘𝑁) = if(𝑁𝐴, ((1 / 3)↑𝑁), 0))
1910, 18sylan9eq 2825 1 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐹𝐴)‘𝑁) = if(𝑁𝐴, ((1 / 3)↑𝑁), 0))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3723  ifcif 4225  𝒫 cpw 4297   ↦ cmpt 4863  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793  0cc0 10138  1c1 10139   / cdiv 10886  ℕcn 11222  3c3 11273  ↑cexp 13067 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-ov 6796  df-om 7213  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-nn 11223 This theorem is referenced by:  rpnnen2lem3  15151  rpnnen2lem4  15152  rpnnen2lem9  15157  rpnnen2lem10  15158  rpnnen2lem11  15159
 Copyright terms: Public domain W3C validator