MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpnnen1lem4OLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rpnnen1lem4OLD 11861
Description: Lemma for rpnnen1OLD 11863. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2013.) Obsolete version of rpnnen1lem4 11855 as of 13-Aug-2021. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
rpnnen1.1OLD 𝑇 = {𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 / 𝑘) < 𝑥}
rpnnen1.2OLD 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘)))
Assertion
Ref Expression
rpnnen1lem4OLD (𝑥 ∈ ℝ → sup(ran (𝐹𝑥), ℝ, < ) ∈ ℝ)
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹,𝑛,𝑥   𝑇,𝑛
Allowed substitution hints:   𝑇(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem rpnnen1lem4OLD
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpnnen1.1OLD . . . . 5 𝑇 = {𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 / 𝑘) < 𝑥}
2 rpnnen1.2OLD . . . . 5 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘)))
31, 2rpnnen1lem1OLD 11859 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ → (𝐹𝑥) ∈ (ℚ ↑𝑚 ℕ))
4 qex 11838 . . . . 5 ℚ ∈ V
5 nnex 11064 . . . . 5 ℕ ∈ V
64, 5elmap 7928 . . . 4 ((𝐹𝑥) ∈ (ℚ ↑𝑚 ℕ) ↔ (𝐹𝑥):ℕ⟶ℚ)
73, 6sylib 208 . . 3 (𝑥 ∈ ℝ → (𝐹𝑥):ℕ⟶ℚ)
8 frn 6091 . . . 4 ((𝐹𝑥):ℕ⟶ℚ → ran (𝐹𝑥) ⊆ ℚ)
9 qssre 11836 . . . 4 ℚ ⊆ ℝ
108, 9syl6ss 3648 . . 3 ((𝐹𝑥):ℕ⟶ℚ → ran (𝐹𝑥) ⊆ ℝ)
117, 10syl 17 . 2 (𝑥 ∈ ℝ → ran (𝐹𝑥) ⊆ ℝ)
12 1nn 11069 . . . . . 6 1 ∈ ℕ
1312ne0ii 3956 . . . . 5 ℕ ≠ ∅
14 fdm 6089 . . . . . 6 ((𝐹𝑥):ℕ⟶ℚ → dom (𝐹𝑥) = ℕ)
1514neeq1d 2882 . . . . 5 ((𝐹𝑥):ℕ⟶ℚ → (dom (𝐹𝑥) ≠ ∅ ↔ ℕ ≠ ∅))
1613, 15mpbiri 248 . . . 4 ((𝐹𝑥):ℕ⟶ℚ → dom (𝐹𝑥) ≠ ∅)
17 dm0rn0 5374 . . . . 5 (dom (𝐹𝑥) = ∅ ↔ ran (𝐹𝑥) = ∅)
1817necon3bii 2875 . . . 4 (dom (𝐹𝑥) ≠ ∅ ↔ ran (𝐹𝑥) ≠ ∅)
1916, 18sylib 208 . . 3 ((𝐹𝑥):ℕ⟶ℚ → ran (𝐹𝑥) ≠ ∅)
207, 19syl 17 . 2 (𝑥 ∈ ℝ → ran (𝐹𝑥) ≠ ∅)
211, 2rpnnen1lem3OLD 11860 . . 3 (𝑥 ∈ ℝ → ∀𝑛 ∈ ran (𝐹𝑥)𝑛𝑥)
22 breq2 4689 . . . . 5 (𝑦 = 𝑥 → (𝑛𝑦𝑛𝑥))
2322ralbidv 3015 . . . 4 (𝑦 = 𝑥 → (∀𝑛 ∈ ran (𝐹𝑥)𝑛𝑦 ↔ ∀𝑛 ∈ ran (𝐹𝑥)𝑛𝑥))
2423rspcev 3340 . . 3 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑛 ∈ ran (𝐹𝑥)𝑛𝑥) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ ran (𝐹𝑥)𝑛𝑦)
2521, 24mpdan 703 . 2 (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ ran (𝐹𝑥)𝑛𝑦)
26 suprcl 11021 . 2 ((ran (𝐹𝑥) ⊆ ℝ ∧ ran (𝐹𝑥) ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ ran (𝐹𝑥)𝑛𝑦) → sup(ran (𝐹𝑥), ℝ, < ) ∈ ℝ)
2711, 20, 25, 26syl3anc 1366 1 (𝑥 ∈ ℝ → sup(ran (𝐹𝑥), ℝ, < ) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  {crab 2945  wss 3607  c0 3948   class class class wbr 4685  cmpt 4762  dom cdm 5143  ran crn 5144  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  𝑚 cmap 7899  supcsup 8387  cr 9973  1c1 9975   < clt 10112  cle 10113   / cdiv 10722  cn 11058  cz 11415  cq 11826
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-q 11827
This theorem is referenced by:  rpnnen1lem5OLD  11862
  Copyright terms: Public domain W3C validator