MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpnnen1lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rpnnen1lem2 12027
Description: Lemma for rpnnen1 12033. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
rpnnen1lem.1 𝑇 = {𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 / 𝑘) < 𝑥}
rpnnen1lem.2 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑘 ∈ ℕ ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / 𝑘)))
Assertion
Ref Expression
rpnnen1lem2 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → sup(𝑇, ℝ, < ) ∈ ℤ)
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹,𝑛,𝑥   𝑇,𝑛
Allowed substitution hints:   𝑇(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem rpnnen1lem2
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpnnen1lem.1 . . 3 𝑇 = {𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 / 𝑘) < 𝑥}
2 ssrab2 3828 . . 3 {𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 / 𝑘) < 𝑥} ⊆ ℤ
31, 2eqsstri 3776 . 2 𝑇 ⊆ ℤ
43a1i 11 . . 3 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑇 ⊆ ℤ)
5 nnre 11239 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ)
6 remulcl 10233 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℝ)
76ancoms 468 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℝ)
85, 7sylan2 492 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℝ)
9 btwnz 11691 . . . . . . . 8 ((𝑘 · 𝑥) ∈ ℝ → (∃𝑛 ∈ ℤ 𝑛 < (𝑘 · 𝑥) ∧ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑘 · 𝑥) < 𝑛))
109simpld 477 . . . . . . 7 ((𝑘 · 𝑥) ∈ ℝ → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑛 < (𝑘 · 𝑥))
118, 10syl 17 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑛 < (𝑘 · 𝑥))
12 zre 11593 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℝ)
1312adantl 473 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑛 ∈ ℝ)
14 simpll 807 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℝ)
15 nngt0 11261 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → 0 < 𝑘)
165, 15jca 555 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑘))
1716ad2antlr 765 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑘))
18 ltdivmul 11110 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑘)) → ((𝑛 / 𝑘) < 𝑥𝑛 < (𝑘 · 𝑥)))
1913, 14, 17, 18syl3anc 1477 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑛 / 𝑘) < 𝑥𝑛 < (𝑘 · 𝑥)))
2019rexbidva 3187 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 / 𝑘) < 𝑥 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ 𝑛 < (𝑘 · 𝑥)))
2111, 20mpbird 247 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 / 𝑘) < 𝑥)
22 rabn0 4101 . . . . 5 ({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 / 𝑘) < 𝑥} ≠ ∅ ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ (𝑛 / 𝑘) < 𝑥)
2321, 22sylibr 224 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → {𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 / 𝑘) < 𝑥} ≠ ∅)
241neeq1i 2996 . . . 4 (𝑇 ≠ ∅ ↔ {𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛 / 𝑘) < 𝑥} ≠ ∅)
2523, 24sylibr 224 . . 3 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑇 ≠ ∅)
261rabeq2i 3337 . . . . . 6 (𝑛𝑇 ↔ (𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 / 𝑘) < 𝑥))
275ad2antlr 765 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℝ)
2827, 14, 6syl2anc 696 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑘 · 𝑥) ∈ ℝ)
29 ltle 10338 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ (𝑘 · 𝑥) ∈ ℝ) → (𝑛 < (𝑘 · 𝑥) → 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑥)))
3013, 28, 29syl2anc 696 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑛 < (𝑘 · 𝑥) → 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑥)))
3119, 30sylbid 230 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑛 / 𝑘) < 𝑥𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑥)))
3231impr 650 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ (𝑛 / 𝑘) < 𝑥)) → 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑥))
3326, 32sylan2b 493 . . . . 5 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛𝑇) → 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑥))
3433ralrimiva 3104 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∀𝑛𝑇 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑥))
35 breq2 4808 . . . . . 6 (𝑦 = (𝑘 · 𝑥) → (𝑛𝑦𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑥)))
3635ralbidv 3124 . . . . 5 (𝑦 = (𝑘 · 𝑥) → (∀𝑛𝑇 𝑛𝑦 ↔ ∀𝑛𝑇 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑥)))
3736rspcev 3449 . . . 4 (((𝑘 · 𝑥) ∈ ℝ ∧ ∀𝑛𝑇 𝑛 ≤ (𝑘 · 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑇 𝑛𝑦)
388, 34, 37syl2anc 696 . . 3 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑇 𝑛𝑦)
39 suprzcl 11669 . . 3 ((𝑇 ⊆ ℤ ∧ 𝑇 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑇 𝑛𝑦) → sup(𝑇, ℝ, < ) ∈ 𝑇)
404, 25, 38, 39syl3anc 1477 . 2 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → sup(𝑇, ℝ, < ) ∈ 𝑇)
413, 40sseldi 3742 1 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → sup(𝑇, ℝ, < ) ∈ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  wral 3050  wrex 3051  {crab 3054  wss 3715  c0 4058   class class class wbr 4804  cmpt 4881  (class class class)co 6814  supcsup 8513  cr 10147  0cc0 10148   · cmul 10153   < clt 10286  cle 10287   / cdiv 10896  cn 11232  cz 11589
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-sup 8515  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-n0 11505  df-z 11590
This theorem is referenced by:  rpnnen1lem3  12029  rpnnen1lem5  12031  rpnnen1lem3OLD  12035  rpnnen1lem5OLD  12037
  Copyright terms: Public domain W3C validator