MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpnnen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rpnnen 15076
Description: The cardinality of the continuum is the same as the powerset of ω. This is a stronger statement than ruc 15092, which only asserts that is uncountable, i.e. has a cardinality larger than ω. The main proof is in two parts, rpnnen1 11934 and rpnnen2 15075, each showing an injection in one direction, and this last part uses sbth 8196 to prove that the sets are equinumerous. By constructing explicit injections, we avoid the use of AC. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
rpnnen ℝ ≈ 𝒫 ℕ

Proof of Theorem rpnnen
StepHypRef Expression
1 nnex 11139 . . . 4 ℕ ∈ V
2 qex 11914 . . . 4 ℚ ∈ V
31, 2rpnnen1 11934 . . 3 ℝ ≼ (ℚ ↑𝑚 ℕ)
4 qnnen 15062 . . . . . . 7 ℚ ≈ ℕ
51canth2 8229 . . . . . . 7 ℕ ≺ 𝒫 ℕ
6 ensdomtr 8212 . . . . . . 7 ((ℚ ≈ ℕ ∧ ℕ ≺ 𝒫 ℕ) → ℚ ≺ 𝒫 ℕ)
74, 5, 6mp2an 710 . . . . . 6 ℚ ≺ 𝒫 ℕ
8 sdomdom 8100 . . . . . 6 (ℚ ≺ 𝒫 ℕ → ℚ ≼ 𝒫 ℕ)
9 mapdom1 8241 . . . . . 6 (ℚ ≼ 𝒫 ℕ → (ℚ ↑𝑚 ℕ) ≼ (𝒫 ℕ ↑𝑚 ℕ))
107, 8, 9mp2b 10 . . . . 5 (ℚ ↑𝑚 ℕ) ≼ (𝒫 ℕ ↑𝑚 ℕ)
111pw2en 8183 . . . . . 6 𝒫 ℕ ≈ (2𝑜𝑚 ℕ)
121enref 8105 . . . . . 6 ℕ ≈ ℕ
13 mapen 8240 . . . . . 6 ((𝒫 ℕ ≈ (2𝑜𝑚 ℕ) ∧ ℕ ≈ ℕ) → (𝒫 ℕ ↑𝑚 ℕ) ≈ ((2𝑜𝑚 ℕ) ↑𝑚 ℕ))
1411, 12, 13mp2an 710 . . . . 5 (𝒫 ℕ ↑𝑚 ℕ) ≈ ((2𝑜𝑚 ℕ) ↑𝑚 ℕ)
15 domentr 8131 . . . . 5 (((ℚ ↑𝑚 ℕ) ≼ (𝒫 ℕ ↑𝑚 ℕ) ∧ (𝒫 ℕ ↑𝑚 ℕ) ≈ ((2𝑜𝑚 ℕ) ↑𝑚 ℕ)) → (ℚ ↑𝑚 ℕ) ≼ ((2𝑜𝑚 ℕ) ↑𝑚 ℕ))
1610, 14, 15mp2an 710 . . . 4 (ℚ ↑𝑚 ℕ) ≼ ((2𝑜𝑚 ℕ) ↑𝑚 ℕ)
17 2onn 7840 . . . . . . 7 2𝑜 ∈ ω
18 mapxpen 8242 . . . . . . 7 ((2𝑜 ∈ ω ∧ ℕ ∈ V ∧ ℕ ∈ V) → ((2𝑜𝑚 ℕ) ↑𝑚 ℕ) ≈ (2𝑜𝑚 (ℕ × ℕ)))
1917, 1, 1, 18mp3an 1537 . . . . . 6 ((2𝑜𝑚 ℕ) ↑𝑚 ℕ) ≈ (2𝑜𝑚 (ℕ × ℕ))
2017elexi 3317 . . . . . . . 8 2𝑜 ∈ V
2120enref 8105 . . . . . . 7 2𝑜 ≈ 2𝑜
22 xpnnen 15059 . . . . . . 7 (ℕ × ℕ) ≈ ℕ
23 mapen 8240 . . . . . . 7 ((2𝑜 ≈ 2𝑜 ∧ (ℕ × ℕ) ≈ ℕ) → (2𝑜𝑚 (ℕ × ℕ)) ≈ (2𝑜𝑚 ℕ))
2421, 22, 23mp2an 710 . . . . . 6 (2𝑜𝑚 (ℕ × ℕ)) ≈ (2𝑜𝑚 ℕ)
2519, 24entri 8126 . . . . 5 ((2𝑜𝑚 ℕ) ↑𝑚 ℕ) ≈ (2𝑜𝑚 ℕ)
2625, 11entr4i 8129 . . . 4 ((2𝑜𝑚 ℕ) ↑𝑚 ℕ) ≈ 𝒫 ℕ
27 domentr 8131 . . . 4 (((ℚ ↑𝑚 ℕ) ≼ ((2𝑜𝑚 ℕ) ↑𝑚 ℕ) ∧ ((2𝑜𝑚 ℕ) ↑𝑚 ℕ) ≈ 𝒫 ℕ) → (ℚ ↑𝑚 ℕ) ≼ 𝒫 ℕ)
2816, 26, 27mp2an 710 . . 3 (ℚ ↑𝑚 ℕ) ≼ 𝒫 ℕ
29 domtr 8125 . . 3 ((ℝ ≼ (ℚ ↑𝑚 ℕ) ∧ (ℚ ↑𝑚 ℕ) ≼ 𝒫 ℕ) → ℝ ≼ 𝒫 ℕ)
303, 28, 29mp2an 710 . 2 ℝ ≼ 𝒫 ℕ
31 rpnnen2 15075 . . 3 𝒫 ℕ ≼ (0[,]1)
32 reex 10140 . . . 4 ℝ ∈ V
33 unitssre 12433 . . . 4 (0[,]1) ⊆ ℝ
34 ssdomg 8118 . . . 4 (ℝ ∈ V → ((0[,]1) ⊆ ℝ → (0[,]1) ≼ ℝ))
3532, 33, 34mp2 9 . . 3 (0[,]1) ≼ ℝ
36 domtr 8125 . . 3 ((𝒫 ℕ ≼ (0[,]1) ∧ (0[,]1) ≼ ℝ) → 𝒫 ℕ ≼ ℝ)
3731, 35, 36mp2an 710 . 2 𝒫 ℕ ≼ ℝ
38 sbth 8196 . 2 ((ℝ ≼ 𝒫 ℕ ∧ 𝒫 ℕ ≼ ℝ) → ℝ ≈ 𝒫 ℕ)
3930, 37, 38mp2an 710 1 ℝ ≈ 𝒫 ℕ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2103  Vcvv 3304  wss 3680  𝒫 cpw 4266   class class class wbr 4760   × cxp 5216  (class class class)co 6765  ωcom 7182  2𝑜c2o 7674  𝑚 cmap 7974  cen 8069  cdom 8070  csdm 8071  cr 10048  0cc0 10049  1c1 10050  cn 11133  cq 11902  [,]cicc 12292
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-inf2 8651  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126  ax-pre-sup 10127
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-fal 1602  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-se 5178  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-isom 6010  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-1o 7680  df-2o 7681  df-oadd 7684  df-omul 7685  df-er 7862  df-map 7976  df-pm 7977  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-fin 8076  df-sup 8464  df-inf 8465  df-oi 8531  df-card 8878  df-acn 8881  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-div 10798  df-nn 11134  df-2 11192  df-3 11193  df-n0 11406  df-z 11491  df-uz 11801  df-q 11903  df-rp 11947  df-ico 12295  df-icc 12296  df-fz 12441  df-fzo 12581  df-fl 12708  df-seq 12917  df-exp 12976  df-hash 13233  df-cj 13959  df-re 13960  df-im 13961  df-sqrt 14095  df-abs 14096  df-limsup 14322  df-clim 14339  df-rlim 14340  df-sum 14537
This theorem is referenced by:  rexpen  15077  cpnnen  15078  rucALT  15079  cnso  15096  2ndcredom  21376  opnreen  22756
  Copyright terms: Public domain W3C validator