MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpneg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rpneg 12056
Description: Either a nonzero real or its negation is a positive real, but not both. Axiom 8 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 7-Nov-2008.)
Assertion
Ref Expression
rpneg ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+))

Proof of Theorem rpneg
StepHypRef Expression
1 0re 10232 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
2 ltle 10318 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
31, 2mpan 708 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
43imp 444 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 ≤ 𝐴)
54olcd 407 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (¬ -𝐴 ∈ ℝ ∨ 0 ≤ 𝐴))
6 renegcl 10536 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
76pm2.24d 147 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (¬ -𝐴 ∈ ℝ → 0 < 𝐴))
87adantr 472 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (¬ -𝐴 ∈ ℝ → 0 < 𝐴))
9 ltlen 10330 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 ↔ (0 ≤ 𝐴𝐴 ≠ 0)))
101, 9mpan 708 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 ↔ (0 ≤ 𝐴𝐴 ≠ 0)))
1110biimprd 238 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → ((0 ≤ 𝐴𝐴 ≠ 0) → 0 < 𝐴))
1211expcomd 453 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≠ 0 → (0 ≤ 𝐴 → 0 < 𝐴)))
1312imp 444 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (0 ≤ 𝐴 → 0 < 𝐴))
148, 13jaod 394 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((¬ -𝐴 ∈ ℝ ∨ 0 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
15 simpl 474 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
1614, 15jctild 567 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((¬ -𝐴 ∈ ℝ ∨ 0 ≤ 𝐴) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)))
175, 16impbid2 216 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ↔ (¬ -𝐴 ∈ ℝ ∨ 0 ≤ 𝐴)))
18 lenlt 10308 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 0))
191, 18mpan 708 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 0))
20 lt0neg1 10726 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 0 ↔ 0 < -𝐴))
2120notbid 307 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (¬ 𝐴 < 0 ↔ ¬ 0 < -𝐴))
2219, 21bitrd 268 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 0 < -𝐴))
2322adantr 472 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (0 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 0 < -𝐴))
2423orbi2d 740 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((¬ -𝐴 ∈ ℝ ∨ 0 ≤ 𝐴) ↔ (¬ -𝐴 ∈ ℝ ∨ ¬ 0 < -𝐴)))
2517, 24bitrd 268 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ↔ (¬ -𝐴 ∈ ℝ ∨ ¬ 0 < -𝐴)))
26 ianor 510 . . 3 (¬ (-𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝐴) ↔ (¬ -𝐴 ∈ ℝ ∨ ¬ 0 < -𝐴))
2725, 26syl6bbr 278 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ↔ ¬ (-𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝐴)))
28 elrp 12027 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
29 elrp 12027 . . 3 (-𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (-𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝐴))
3029notbii 309 . 2 (¬ -𝐴 ∈ ℝ+ ↔ ¬ (-𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝐴))
3127, 28, 303bitr4g 303 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ ¬ -𝐴 ∈ ℝ+))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383  wcel 2139  wne 2932   class class class wbr 4804  cr 10127  0cc0 10128   < clt 10266  cle 10267  -cneg 10459  +crp 12025
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-rp 12026
This theorem is referenced by:  cnpart  14179  angpined  24756  signsply0  30937
  Copyright terms: Public domain W3C validator