MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpne0d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rpne0d 12090
Description: A positive real is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
rpred.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
rpne0d (𝜑𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem rpne0d
StepHypRef Expression
1 rpred.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
2 rpne0 12061 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≠ 0)
31, 2syl 17 1 (𝜑𝐴 ≠ 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2139  wne 2932  0cc0 10148  +crp 12045
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6817  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-ltxr 10291  df-rp 12046
This theorem is referenced by:  rprene0d  12093  rpcnne0d  12094  iccf1o  12529  ltexp2r  13131  discr  13215  bcpasc  13322  sqrtdiv  14225  abs00  14248  absdiv  14254  o1rlimmul  14568  geomulcvg  14826  mertenslem1  14835  retanhcl  15108  tanhlt1  15109  tanhbnd  15110  sylow1lem1  18233  nrginvrcnlem  22716  nmoi2  22755  reperflem  22842  icchmeo  22961  icopnfcnv  22962  nmoleub2lem  23134  nmoleub2lem2  23136  nmoleub3  23139  pjthlem1  23428  sca2rab  23500  ovolscalem1  23501  ovolsca  23503  itg2mulclem  23732  itg2mulc  23733  c1liplem1  23978  aalioulem4  24309  aaliou3lem8  24319  itgulm  24381  dvradcnv  24394  abelthlem7  24411  abelthlem8  24412  tanrpcl  24476  tanregt0  24505  efiarg  24573  argregt0  24576  argrege0  24577  argimgt0  24578  tanarg  24585  logdivlti  24586  logno1  24602  logcnlem4  24611  divcxp  24653  cxple2  24663  cxpcn3lem  24708  cxpcn3  24709  cxpaddlelem  24712  cxpaddle  24713  logbrec  24740  asinlem3  24818  rlimcnp  24912  rlimcnp2  24913  rlimcxp  24920  cxp2limlem  24922  cxp2lim  24923  cxploglim2  24925  jensenlem2  24934  amgmlem  24936  logdiflbnd  24941  lgamgulmlem2  24976  lgamucov  24984  basellem3  25029  basellem8  25034  isppw  25060  chpeq0  25153  chteq0  25154  bposlem9  25237  chebbnd1lem2  25379  chebbnd1  25381  chtppilimlem1  25382  chebbnd2  25386  chto1lb  25387  chpchtlim  25388  chpo1ubb  25390  rplogsumlem1  25393  rplogsumlem2  25394  dchrvmasumlem1  25404  dchrvmasum2lem  25405  dchrisum0lema  25423  dchrisum0lem1b  25424  dchrisum0lem1  25425  dchrisum0lem2a  25426  dchrisum0lem2  25427  dchrisum0lem3  25428  dchrisum0  25429  mulog2sumlem1  25443  vmalogdivsum2  25447  vmalogdivsum  25448  2vmadivsumlem  25449  chpdifbndlem1  25462  selberg3lem1  25466  selberg3lem2  25467  selberg3  25468  selberg4lem1  25469  selberg4  25470  selberg3r  25478  selberg4r  25479  selberg34r  25480  pntrlog2bndlem1  25486  pntrlog2bndlem2  25487  pntrlog2bndlem3  25488  pntrlog2bndlem4  25489  pntrlog2bndlem5  25490  pntrlog2bndlem6  25492  pntpbnd2  25496  pntibndlem2  25500  pntlemr  25511  pntlemo  25516  pnt2  25522  pnt  25523  padicabv  25539  ostth2lem3  25544  ostth2lem4  25545  ostth3  25547  smcnlem  27882  pjhthlem1  28580  rpxdivcld  29972  xrmulc1cn  30306  esumdivc  30475  probmeasb  30822  signsply0  30958  divsqrtid  31002  hgt750leme  31066  circum  31896  iprodgam  31956  faclimlem1  31957  faclimlem3  31959  knoppndvlem17  32846  knoppndvlem18  32847  itg2addnclem3  33794  geomcau  33886  cntotbnd  33926  bfplem1  33952  rrncmslem  33962  rrnequiv  33965  irrapxlem5  37910  pellfund14  37982  rmxyneg  38005  rmxyadd  38006  modabsdifz  38073  binomcxplemnotnn0  39075  oddfl  40006  xralrple3  40106  ioodvbdlimc1lem2  40668  ioodvbdlimc2lem  40670  stoweidlem1  40739  stoweidlem14  40752  stoweidlem60  40798  wallispilem4  40806  wallispilem5  40807  wallispi  40808  wallispi2lem1  40809  stirlinglem1  40812  stirlinglem3  40814  stirlinglem4  40815  stirlinglem5  40816  stirlinglem8  40819  stirlinglem12  40823  stirlinglem15  40826  dirkertrigeqlem1  40836  dirkercncflem1  40841  dirkercncflem4  40844  fourierdlem30  40875  fourierdlem39  40884  fourierdlem47  40891  fourierdlem65  40909  fourierdlem73  40917  fourierdlem87  40931  qndenserrnbllem  41035  sge0rpcpnf  41159  hoiqssbllem2  41361  young2d  43082
  Copyright terms: Public domain W3C validator