MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpne0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rpne0 11886
Description: A positive real is nonzero. (Contributed by NM, 18-Jul-2008.)
Assertion
Ref Expression
rpne0 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem rpne0
StepHypRef Expression
1 rpregt0 11884 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
2 gt0ne0 10531 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
31, 2syl 17 1 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≠ 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  wcel 2030  wne 2823   class class class wbr 4685  cr 9973  0cc0 9974   < clt 10112  +crp 11870
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-ltxr 10117  df-rp 11871
This theorem is referenced by:  rprene0  11887  rpcnne0  11888  rpne0d  11915  divge1  11936  xlemul1  12158  ltdifltdiv  12675  mulmod0  12716  negmod0  12717  moddiffl  12721  modid0  12736  modmuladd  12752  modmuladdnn0  12754  2txmodxeq0  12770  rpexpcl  12919  expnlbnd  13034  rennim  14023  sqrtdiv  14050  o1fsum  14589  divrcnv  14628  rpmsubg  19858  itg2const2  23553  reeff1o  24246  reefgim  24249  logne0  24371  advlog  24445  advlogexp  24446  logcxp  24460  cxprec  24477  cxpmul  24479  abscxp  24483  cxple2  24488  dvcxp1  24526  dvcxp2  24527  dvsqrt  24528  relogbreexp  24558  relogbzexp  24559  relogbmul  24560  relogbdiv  24562  relogbexp  24563  relogbcxp  24568  relogbcxpb  24570  relogbf  24574  logblog  24575  rlimcnp  24737  efrlim  24741  cxplim  24743  cxp2limlem  24747  cxploglim  24749  logdifbnd  24765  logdiflbnd  24766  logfacrlim2  24996  bposlem8  25061  vmadivsum  25216  mudivsum  25264  mulogsumlem  25265  logdivsum  25267  log2sumbnd  25278  selberg2lem  25284  selberg2  25285  pntrmax  25298  selbergr  25302  pntrlog2bndlem4  25314  pntrlog2bndlem5  25315  pntlem3  25343  padicabvcxp  25366  blocnilem  27787  nmcexi  29013  probfinmeasbOLD  30618  probfinmeasb  30619  signsplypnf  30755  logdivsqrle  30856  poimirlem29  33568  areacirclem1  33630  areacirclem4  33633  areacirc  33635  heiborlem6  33745  heiborlem7  33746  xralrple2  39883  recnnltrp  39906  rpgtrecnn  39910  ioodvbdlimc1lem2  40465  ioodvbdlimc2lem  40467  fldivmod  42638  relogbmulbexp  42680  relogbdivb  42681  blenre  42693
  Copyright terms: Public domain W3C validator