MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpmulcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rpmulcld 12081
Description: Closure law for multiplication of positive reals. Part of Axiom 7 of [Apostol] p. 20. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpred.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
rpaddcld.1 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
rpmulcld (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpmulcld
StepHypRef Expression
1 rpred.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
2 rpaddcld.1 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
3 rpmulcl 12048 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+)
41, 2, 3syl2anc 696 1 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ+)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2139  (class class class)co 6813   · cmul 10133  +crp 12025
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6816  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-ltxr 10271  df-rp 12026
This theorem is referenced by:  reccn2  14526  eirrlem  15131  nrginvrcnlem  22696  ovolscalem1  23481  itg2gt0  23726  aaliou3lem1  24296  aaliou3lem2  24297  aaliou3lem8  24299  cosordlem  24476  logcnlem2  24588  cxp2limlem  24901  lgamgulmlem3  24956  lgamgulmlem4  24957  lgamgulmlem5  24958  lgamgulmlem6  24959  lgsquadlem2  25305  chtppilimlem1  25361  chtppilim  25363  chebbnd2  25365  chto1lb  25366  rplogsumlem1  25372  dchrvmasumlem1  25383  chpdifbndlem1  25441  chpdifbndlem2  25442  selberg3lem1  25445  selberg4lem1  25448  selberg4  25449  pntrlog2bndlem2  25466  pntrlog2bndlem3  25467  pntrlog2bndlem4  25468  pntrlog2bndlem5  25469  pntpbnd2  25475  pntlemd  25482  pntlema  25484  pntlemb  25485  pntlemq  25489  pntlemr  25490  pntlemj  25491  pntlemf  25493  pntlemo  25495  pntlem3  25497  pntleml  25499  pnt  25502  ttgcontlem1  25964  2sqmod  29957  hgt750leme  31045  faclimlem1  31936  faclimlem3  31938  faclim  31939  unbdqndv2  32808  knoppndvlem17  32825  rrndstprj2  33943  pellfund14  37964  0ellimcdiv  40384  wallispilem3  40787  wallispilem4  40788  wallispi  40790  wallispi2lem1  40791  stirlinglem2  40795  stirlinglem3  40796  stirlinglem4  40797  stirlinglem6  40799  stirlinglem7  40800  stirlinglem10  40803  stirlinglem11  40804  stirlinglem12  40805  stirlinglem13  40806  stirlinglem14  40807  stirlinglem15  40808  stirlingr  40810  dirkertrigeqlem1  40818  dirkercncflem1  40823  dirkercncflem4  40826  hoiqssbllem1  41342  hoiqssbllem2  41343  hoiqssbllem3  41344  amgmwlem  43061  amgmw2d  43063
  Copyright terms: Public domain W3C validator