MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rphalflt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rphalflt 12073
Description: Half of a positive real is less than the original number. (Contributed by Mario Carneiro, 21-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
rphalflt (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 2) < 𝐴)

Proof of Theorem rphalflt
StepHypRef Expression
1 elrp 12047 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
2 halfpos 11474 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 ↔ (𝐴 / 2) < 𝐴))
32biimpa 502 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 / 2) < 𝐴)
41, 3sylbi 207 1 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 2) < 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  wcel 2139   class class class wbr 4804  (class class class)co 6814  cr 10147  0cc0 10148   < clt 10286   / cdiv 10896  2c2 11282  +crp 12045
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-2 11291  df-rp 12046
This theorem is referenced by:  rpltrp  12384  rpnnen2lem11  15172  sqrt2irr  15198  metcnpi3  22572  cfilucfil  22585  reperflem  22842  iccntr  22845  icccmplem2  22847  reconnlem2  22851  cnllycmp  22976  bcthlem5  23345  minveclem3  23420  ivthlem2  23441  lhop1lem  23995  dvcnvre  24001  aaliou  24312  aaliou2b  24315  cosordlem  24497  tanord1  24503  argregt0  24576  argrege0  24577  isosctrlem1  24768  asinsin  24839  asin1  24841  atan1  24875  lgamucov  24984  lgsqrlem2  25292  lgsquadlem2  25326  lgsquadlem3  25327  2sqlem8  25371  chebbnd1lem2  25379  pntibnd  25502  pntlem3  25518  ubthlem1  28056  nmcexi  29215  ftc1anc  33824  isosctrlem1ALT  39687  dstregt0  40010  supxrge  40070  rphalfltd  40200  stoweidlem62  40800  fourierdlem79  40923
  Copyright terms: Public domain W3C validator