MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rphalfcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rphalfcld 12077
Description: Closure law for half of a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
rpred.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
rphalfcld (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rphalfcld
StepHypRef Expression
1 rpred.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
2 rphalfcl 12051 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)
31, 2syl 17 1 (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2139  (class class class)co 6813   / cdiv 10876  2c2 11262  +crp 12025
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-2 11271  df-rp 12026
This theorem is referenced by:  nnesq  13182  rlimuni  14480  climuni  14482  reccn2  14526  iseralt  14614  mertenslem1  14815  mertenslem2  14816  ege2le3  15019  rpcoshcl  15086  sqrt2irrlem  15176  sqrt2irrlemOLD  15177  4sqlem7  15850  ssblex  22434  methaus  22526  met2ndci  22528  metustexhalf  22562  cfilucfil  22565  nlmvscnlem2  22690  nlmvscnlem1  22691  nrginvrcnlem  22696  reperflem  22822  icccmplem2  22827  metdcnlem  22840  metnrmlem2  22864  metnrmlem3  22865  ipcnlem2  23243  ipcnlem1  23244  minveclem3  23400  ovollb2lem  23456  ovolunlem2  23466  uniioombl  23557  itg2cnlem2  23728  itg2cn  23729  lhop1lem  23975  lhop1  23976  aaliou2b  24295  ulmcn  24352  pserdvlem1  24380  pserdv  24382  cxpcn3lem  24687  lgamgulmlem3  24956  lgamucov  24963  ftalem2  24999  bposlem7  25214  bposlem9  25216  lgsquadlem2  25305  chebbnd1lem2  25358  pntibndlem3  25480  pntibnd  25481  pntlemr  25490  lt2addrd  29825  tpr2rico  30267  knoppndvlem17  32825  tan2h  33714  mblfinlem4  33762  sstotbnd2  33886  dstregt0  39992  suplesup  40053  infleinf  40086  lptre2pt  40375  0ellimcdiv  40384  limsupgtlem  40512  ioodvbdlimc1lem2  40650  ioodvbdlimc2lem  40652  stoweidlem62  40782  stirlinglem1  40794
  Copyright terms: Public domain W3C validator