MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rphalfcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rphalfcl 12051
Description: Closure law for half of a positive real. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
rphalfcl (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rphalfcl
StepHypRef Expression
1 2rp 12030 . 2 2 ∈ ℝ+
2 rpdivcl 12049 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)
31, 2mpan2 709 1 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 / 2) ∈ ℝ+)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2139  (class class class)co 6813   / cdiv 10876  2c2 11262  +crp 12025
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-2 11271  df-rp 12026
This theorem is referenced by:  rphalfcld  12077  rpltrp  12364  cau3lem  14293  2clim  14502  addcn2  14523  mulcn2  14525  climcau  14600  metcnpi3  22552  ngptgp  22641  iccntr  22825  reconnlem2  22831  opnreen  22835  xmetdcn2  22841  cnllycmp  22956  iscfil3  23271  cfilfcls  23272  iscmet3lem3  23288  iscmet3lem1  23289  iscmet3lem2  23290  iscmet3  23291  lmcau  23311  bcthlem5  23325  ivthlem2  23421  uniioombl  23557  dvcnvre  23981  aaliou  24292  ulmcaulem  24347  ulmcau  24348  ulmcn  24352  ulmdvlem3  24355  tanregt0  24484  argregt0  24555  argrege0  24556  logimul  24559  resqrtcn  24689  asin1  24820  reasinsin  24822  atanbnd  24852  atan1  24854  sqrtlim  24898  basellem4  25009  chpchtlim  25367  mulog2sumlem2  25423  pntlem3  25497  vacn  27858  ubthlem1  28035  nmcexi  29194  poimirlem29  33751  heicant  33757  ftc1anclem6  33803  ftc1anclem7  33804  ftc1anc  33806  heibor1lem  33921  heiborlem8  33930  bfplem2  33935  supxrge  40052  suplesup  40053  infleinflem1  40084  infleinf  40086  addlimc  40383  fourierdlem103  40929  fourierdlem104  40930  sge0xaddlem2  41154  smflimlem4  41488
  Copyright terms: Public domain W3C validator