Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rpgtrecnn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rpgtrecnn 40110
 Description: Any positive real number is greater than the reciprocal of a positive integer. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Assertion
Ref Expression
rpgtrecnn (𝐴 ∈ ℝ+ → ∃𝑛 ∈ ℕ (1 / 𝑛) < 𝐴)
Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Proof of Theorem rpgtrecnn
StepHypRef Expression
1 rpreccl 12060 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 / 𝐴) ∈ ℝ+)
21rpred 12075 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
31rpge0d 12079 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ (1 / 𝐴))
4 flge0nn0 12829 . . . 4 (((1 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 𝐴)) → (⌊‘(1 / 𝐴)) ∈ ℕ0)
52, 3, 4syl2anc 573 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ → (⌊‘(1 / 𝐴)) ∈ ℕ0)
6 nn0p1nn 11539 . . 3 ((⌊‘(1 / 𝐴)) ∈ ℕ0 → ((⌊‘(1 / 𝐴)) + 1) ∈ ℕ)
75, 6syl 17 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((⌊‘(1 / 𝐴)) + 1) ∈ ℕ)
8 flltp1 12809 . . . . 5 ((1 / 𝐴) ∈ ℝ → (1 / 𝐴) < ((⌊‘(1 / 𝐴)) + 1))
92, 8syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 / 𝐴) < ((⌊‘(1 / 𝐴)) + 1))
107nnrpd 12073 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((⌊‘(1 / 𝐴)) + 1) ∈ ℝ+)
111, 10ltrecd 12093 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((1 / 𝐴) < ((⌊‘(1 / 𝐴)) + 1) ↔ (1 / ((⌊‘(1 / 𝐴)) + 1)) < (1 / (1 / 𝐴))))
129, 11mpbid 222 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 / ((⌊‘(1 / 𝐴)) + 1)) < (1 / (1 / 𝐴)))
13 rpcn 12044 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℂ)
14 rpne0 12051 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≠ 0)
1513, 14recrecd 11004 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 / (1 / 𝐴)) = 𝐴)
1612, 15breqtrd 4813 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+ → (1 / ((⌊‘(1 / 𝐴)) + 1)) < 𝐴)
17 oveq2 6804 . . . 4 (𝑛 = ((⌊‘(1 / 𝐴)) + 1) → (1 / 𝑛) = (1 / ((⌊‘(1 / 𝐴)) + 1)))
1817breq1d 4797 . . 3 (𝑛 = ((⌊‘(1 / 𝐴)) + 1) → ((1 / 𝑛) < 𝐴 ↔ (1 / ((⌊‘(1 / 𝐴)) + 1)) < 𝐴))
1918rspcev 3460 . 2 ((((⌊‘(1 / 𝐴)) + 1) ∈ ℕ ∧ (1 / ((⌊‘(1 / 𝐴)) + 1)) < 𝐴) → ∃𝑛 ∈ ℕ (1 / 𝑛) < 𝐴)
207, 16, 19syl2anc 573 1 (𝐴 ∈ ℝ+ → ∃𝑛 ∈ ℕ (1 / 𝑛) < 𝐴)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3062   class class class wbr 4787  ‘cfv 6030  (class class class)co 6796  ℝcr 10141  0cc0 10142  1c1 10143   + caddc 10145   < clt 10280   ≤ cle 10281   / cdiv 10890  ℕcn 11226  ℕ0cn0 11499  ℝ+crp 12035  ⌊cfl 12799 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219  ax-pre-sup 10220 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-sup 8508  df-inf 8509  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-div 10891  df-nn 11227  df-n0 11500  df-z 11585  df-uz 11894  df-rp 12036  df-fl 12801 This theorem is referenced by:  xrralrecnnle  40115  iunhoiioolem  41406  smflimlem4  41499
 Copyright terms: Public domain W3C validator