MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpge0d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rpge0d 11914
Description: A positive real is greater than or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
rpred.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
rpge0d (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem rpge0d
StepHypRef Expression
1 rpred.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
2 rpge0 11883 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)
31, 2syl 17 1 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2030   class class class wbr 4685  0cc0 9974  cle 10113  +crp 11870
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-rp 11871
This theorem is referenced by:  rprege0d  11917  sqrlem5  14031  isumrpcl  14619  isumltss  14624  harmonic  14635  expcnv  14640  prmreclem5  15671  prmreclem6  15672  4sqlem7  15695  nmoi2  22581  reperflem  22668  lebnumii  22812  nmoleub2lem3  22961  nmoleub3  22965  lmnn  23107  minveclem3  23246  pjthlem1  23254  ovoliunlem1  23316  vitalilem4  23425  vitali  23427  itg2const2  23553  itggt0  23653  lhop1lem  23821  plyeq0lem  24011  aalioulem4  24135  aaliou3lem2  24143  aaliou3lem3  24144  pserdvlem2  24227  abelthlem7  24237  pilem2  24251  pilem3  24252  divlogrlim  24426  logtayllem  24450  cxpge0  24474  divcxp  24478  cxpsqrtlem  24493  cxpsqrt  24494  abscxpbnd  24539  asinlem3  24643  leibpi  24714  birthdaylem3  24725  rlimcnp3  24739  cxplim  24743  rlimcxp  24745  cxp2limlem  24747  cxp2lim  24748  jensenlem2  24759  amgmlem  24761  emcllem2  24768  emcllem4  24770  emcllem6  24772  fsumharmonic  24783  zetacvg  24786  lgamgulmlem2  24801  lgamgulmlem3  24802  lgamgulmlem5  24804  lgamcvg2  24826  regamcl  24832  ftalem3  24846  ftalem5  24848  basellem6  24857  basellem8  24859  chtge0  24883  chtwordi  24927  chpval2  24988  chpchtsum  24989  chpub  24990  bposlem1  25054  bposlem2  25055  bposlem4  25057  bposlem5  25058  bposlem6  25059  bposlem7  25060  bposlem9  25062  lgsquadlem2  25151  chtppilimlem1  25207  chtppilimlem2  25208  chtppilim  25209  chpchtlim  25213  rplogsumlem1  25218  rplogsumlem2  25219  dchrisum0lem1a  25220  rpvmasumlem  25221  dchrisumlema  25222  2vmadivsumlem  25274  logdivbnd  25290  selberg3lem1  25291  selberg3lem2  25292  selberg4lem1  25294  pntrsumbnd2  25301  pntrlog2bndlem1  25311  pntrlog2bndlem2  25312  pntrlog2bndlem3  25313  pntrlog2bndlem4  25314  pntrlog2bndlem5  25315  pntrlog2bndlem6a  25316  pntrlog2bndlem6  25317  pntrlog2bnd  25318  pntibndlem2  25325  pntlemg  25332  pntlemk  25340  pntlem3  25343  pntleml  25345  ostth2lem1  25352  padicabv  25364  ostth2lem3  25369  ostth3  25372  ubthlem2  27855  minvecolem3  27860  minvecolem5  27865  pjhthlem1  28378  fsumub  29702  sqsscirc1  30082  omssubaddlem  30489  hgt750lemd  30854  logdivsqrle  30856  hgt750lem  30857  hgt750leme  30864  knoppndvlem18  32645  taupilemrplb  33296  poimirlem29  33568  itggt0cn  33612  geomcau  33685  cntotbnd  33725  rrndstprj2  33760  irrapxlem5  37707  pell1qrgaplem  37754  pell14qrgapw  37757  pellqrex  37760  rpexpmord  37830  rmxypos  37831  binomcxplemnotnn0  38872  recnnltrp  39906  rpgtrecnn  39910  stoweidlem3  40538  stoweidlem26  40561  wallispilem4  40603  wallispi  40605  wallispi2lem1  40606  stirlinglem1  40609  stirlinglem4  40612  stirlinglem10  40618  stirlinglem11  40619  stirlinglem12  40620  fourierdlem39  40681  fourierdlem42  40684  fourierdlem87  40728  fourierdlem107  40748  rrndistlt  40828  sge0rpcpnf  40956  ovnsubaddlem1  41105  hoidmvlelem2  41131  hoidmvlelem4  41133  ovolval5lem1  41187  vonioolem1  41215
  Copyright terms: Public domain W3C validator