Theorem rpge0 12030

Description: A positive real is greater than or equal to zero. (Contributed by NM, 22-Feb-2008.)

Assertion

Ref	Expression
rpge0	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem rpge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpre 12024	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rpgt0 12029	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 < 𝐴)
3		0re 10224	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		ltle 10310	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
5	3, 4	mpan 708	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
6	1, 2, 5	sylc 65	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2131   class class class wbr 4796  ℝcr 10119  0cc0 10120   < clt 10258   ≤ cle 10259  ℝ⁺crp 12017

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-op 4320  df-uni 4581  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-id 5166  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-ov 6808  df-er 7903  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-rp 12018

This theorem is referenced by:  rprege0  12032  rpge0d  12061  xralrple  12221  xlemul1  12305  infmrp1  12359  sqrlem1  14174  rpsqrtcl  14196  divrcnv  14775  ef01bndlem  15105  stdbdmet  22514  reconnlem2  22823  cphsqrtcl3  23179  iscmet3lem3  23280  minveclem3  23392  itg2const2  23699  itg2mulclem  23704  aalioulem2  24279  pige3  24460  argregt0  24547  argrege0  24548  cxpcn3  24680  cxplim  24889  cxp2lim  24894  divsqrtsumlem  24897  logdiflbnd  24912  basellem4  25001  ppiltx  25094  bposlem8  25207  bposlem9  25208  chebbnd1  25352  mulog2sumlem2  25415  selbergb  25429  selberg2b  25432  nmcexi  29186  nmcopexi  29187  nmcfnexi  29211  sqsscirc1  30255  divsqrtid  30973  logdivsqrle  31029  hgt750lem2  31031  subfacval3  31470  ptrecube  33714  heicant  33749  itg2addnclem  33766  itg2gt0cn  33770  areacirclem1  33805  areacirclem4  33808  areacirc  33810  cntotbnd  33900  xralrple4  40079  xralrple3  40080  fourierdlem103  40921  blenre  42870