MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpexpcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rpexpcld 13147
Description: Closure law for exponentiation of positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpexpcld.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
rpexpcld.2 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
Assertion
Ref Expression
rpexpcld (𝜑 → (𝐴𝑁) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpexpcld
StepHypRef Expression
1 rpexpcld.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
2 rpexpcld.2 . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
3 rpexpcl 12994 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴𝑁) ∈ ℝ+)
41, 2, 3syl2anc 696 1 (𝜑 → (𝐴𝑁) ∈ ℝ+)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2103  (class class class)co 6765  cz 11490  +crp 11946  cexp 12975
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-2nd 7286  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-er 7862  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-div 10798  df-nn 11134  df-n0 11406  df-z 11491  df-uz 11801  df-rp 11947  df-seq 12917  df-exp 12976
This theorem is referenced by:  bitsfzolem  15279  bitsfzo  15280  bitsmod  15281  bitsinv1  15287  sadasslem  15315  sadeq  15317  plyeq0lem  24086  aalioulem4  24210  aalioulem5  24211  aalioulem6  24212  aaliou  24213  aaliou3lem8  24220  nnlogbexp  24639  lgamgulmlem3  24877  ftalem5  24923  basellem3  24929  rplogsumlem2  25294  rpvmasumlem  25296  pntlemh  25408  pntlemq  25410  pntlemr  25411  pntlemj  25412  pntlemf  25414  padicabv  25439  ostth2lem3  25444  2sqmod  29878  dya2ub  30562  dya2iocress  30566  dya2iocbrsiga  30567  dya2icobrsiga  30568  sxbrsigalem2  30578  omssubadd  30592  signsply0  30858  hgt750leme  30966  tgoldbachgtde  30968  faclim  31860  iprodfac  31861  knoppndvlem17  32746  knoppndvlem18  32747  geomcau  33787  pellfund14  37881  dvdivbd  40558  stirlinglem1  40711  stirlinglem2  40712  stirlinglem4  40714  stirlinglem8  40718  stirlinglem10  40720  stirlinglem11  40721  stirlinglem13  40723  stirlinglem15  40725  stirlingr  40727  sge0ad2en  41068  ovnsubaddlem1  41207  fllog2  42789  dignn0flhalflem1  42836  dignn0flhalflem2  42837
  Copyright terms: Public domain W3C validator