MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpdivcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rpdivcld 12082
Description: Closure law for division of positive reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpred.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
rpaddcld.1 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
rpdivcld (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpdivcld
StepHypRef Expression
1 rpred.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
2 rpaddcld.1 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
3 rpdivcl 12049 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ+)
41, 2, 3syl2anc 696 1 (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ+)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2139  (class class class)co 6813   / cdiv 10876  +crp 12025
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-rp 12026
This theorem is referenced by:  bcpasc  13302  mulcn2  14525  o1rlimmul  14548  mertenslem1  14815  mertenslem2  14816  effsumlt  15040  prmind2  15600  nlmvscnlem2  22690  nlmvscnlem1  22691  nghmcn  22750  lebnumlem3  22963  lebnumii  22966  nmoleub3  23119  ipcnlem2  23243  ipcnlem1  23244  equivcfil  23297  equivcau  23298  ovollb2lem  23456  ovoliunlem1  23470  uniioombllem6  23556  itg2const2  23707  itg2cnlem2  23728  aalioulem2  24287  aalioulem4  24289  aalioulem5  24290  aalioulem6  24291  aaliou  24292  aaliou2b  24295  aaliou3lem9  24304  itgulm  24361  abelthlem7  24391  abelthlem8  24392  tanrpcl  24455  logdivlti  24565  logcnlem2  24588  ang180lem2  24739  isosctrlem2  24748  birthdaylem2  24878  cxp2limlem  24901  cxp2lim  24902  cxploglim  24903  cxploglim2  24904  amgmlem  24915  logdiflbnd  24920  emcllem2  24922  fsumharmonic  24937  lgamgulmlem2  24955  lgamgulmlem3  24956  lgamgulmlem4  24957  lgamgulmlem5  24958  lgamgulmlem6  24959  lgamgulm2  24961  lgamucov  24963  lgamcvg2  24980  gamcvg  24981  gamcvg2lem  24984  regamcl  24986  relgamcl  24987  lgam1  24989  ftalem4  25001  chpval2  25142  chpchtsum  25143  logfacrlim  25148  logexprlim  25149  bclbnd  25204  bposlem1  25208  bposlem2  25209  lgsquadlem2  25305  chebbnd1lem1  25357  chebbnd1lem3  25359  chebbnd1  25360  chtppilimlem2  25362  chebbnd2  25365  chto1lb  25366  rplogsumlem2  25373  rpvmasumlem  25375  dchrvmasumlem1  25383  dchrvmasum2if  25385  dchrisum0lem1b  25403  dchrisum0lem2a  25405  vmalogdivsum2  25426  2vmadivsumlem  25428  selberglem3  25435  selberg  25436  selberg4lem1  25448  selberg3r  25457  selberg4r  25458  selberg34r  25459  pntrlog2bndlem1  25465  pntrlog2bndlem2  25466  pntrlog2bndlem3  25467  pntrlog2bndlem4  25468  pntrlog2bndlem5  25469  pntrlog2bndlem6a  25470  pntrlog2bndlem6  25471  pntrlog2bnd  25472  pntpbnd1a  25473  pntpbnd1  25474  pntpbnd2  25475  pntibndlem2  25479  pntibndlem3  25480  pntlemd  25482  pntlemc  25483  pntlema  25484  pntlemb  25485  pntlemg  25486  pntlemn  25488  pntlemq  25489  pntlemr  25490  pntlemj  25491  pntlemf  25493  pntlemo  25495  pnt2  25501  pnt  25502  ostth2lem3  25523  ostth2  25525  blocni  27969  ubthlem2  28036  lnconi  29201  rpxdivcld  29951  omssubadd  30671  hgt750leme  31045  faclimlem1  31936  faclimlem3  31938  faclim  31939  iprodfac  31940  equivtotbnd  33890  rrncmslem  33944  rrnequiv  33947  irrapxlem5  37892  xralrple2  40068  xralrple3  40088  iooiinicc  40272  iooiinioc  40286  limclner  40386  fprodsubrecnncnvlem  40624  fprodaddrecnncnvlem  40626  stoweidlem31  40751  stoweidlem59  40779  wallispilem3  40787  wallispilem4  40788  wallispilem5  40789  wallispi  40790  wallispi2lem1  40791  stirlinglem2  40795  stirlinglem4  40797  stirlinglem8  40801  stirlinglem13  40806  stirlinglem15  40808  stirlingr  40810  fourierdlem30  40857  fourierdlem73  40899  fourierdlem87  40913  qndenserrnbllem  41017  ovnsubaddlem1  41290  ovnsubaddlem2  41291  hoiqssbllem1  41342  hoiqssbllem2  41343  hoiqssbllem3  41344  ovolval5lem1  41372  ovolval5lem2  41373  vonioolem1  41400  smfmullem1  41504  smfmullem2  41505  smfmullem3  41506
  Copyright terms: Public domain W3C validator