Theorem rpdivcl 12041

Description: Closure law for division of positive reals. (Contributed by FL, 27-Dec-2007.)

Assertion

Ref	Expression
rpdivcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem rpdivcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpre 12024	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		rprene0 12034	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0))
3		redivcl 10928	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
4	3	3expb 1113	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
5	1, 2, 4	syl2an 495	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
6		elrp 12019	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
7		elrp 12019	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ+ ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵))
8		divgt0 11075	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 0 < (𝐴 / 𝐵))
9	6, 7, 8	syl2anb 497	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 0 < (𝐴 / 𝐵))
10		elrp 12019	. 2 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ+ ↔ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 / 𝐵)))
11	5, 9, 10	sylanbrc 701	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∈ wcel 2131   ≠ wne 2924   class class class wbr 4796  (class class class)co 6805  ℝcr 10119  0cc0 10120   < clt 10258   / cdiv 10868  ℝ⁺crp 12017

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-op 4320  df-uni 4581  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-id 5166  df-po 5179  df-so 5180  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-er 7903  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-div 10869  df-rp 12018

This theorem is referenced by:  rpreccl  12042  rphalfcl  12043  rpdivcld  12074  bcrpcl  13281  sqrlem7  14180  caurcvgr  14595  isprm5  15613  4sqlem12  15854  sylow1lem1  18205  metss2lem  22509  metss2  22510  minveclem3  23392  ovoliunlem3  23464  vitalilem4  23571  aaliou3lem8  24291  abelthlem8  24384  pige3  24460  advlogexp  24592  atan1  24846  log2cnv  24862  cxp2limlem  24893  harmonicbnd4  24928  basellem1  24998  logexprlim  25141  logfacrlim2  25142  bcmono  25193  bposlem1  25200  bposlem7  25206  bposlem9  25208  rplogsumlem1  25364  dchrisumlem3  25371  dchrvmasum2lem  25376  dchrvmasum2if  25377  dchrvmasumlem2  25378  dchrvmasumlem3  25379  dchrvmasumiflem2  25382  dchrisum0lem2a  25397  dchrisum0lem2  25398  mudivsum  25410  mulogsumlem  25411  mulogsum  25412  mulog2sumlem1  25414  mulog2sumlem2  25415  mulog2sumlem3  25416  selberglem1  25425  selberglem2  25426  selberg  25428  selberg3lem1  25437  selbergr  25448  pntpbnd1a  25465  pntibndlem1  25469  pntibndlem3  25472  pntlema  25476  pntlemb  25477  pntlemg  25478  pntlemr  25482  pntlemj  25483  pntlemf  25485  smcnlem  27853  blocnilem  27960  minvecolem3  28033  nmcexi  29186  rpdp2cl  29890  dp2ltc  29895  dpgti  29915  circum  31867  faclim  31931  taupilem1  33470  pigt3  33707  poimirlem29  33743  mblfinlem3  33753  itg2addnclem2  33767  itg2addnclem3  33768  ftc1anclem7  33796  ftc1anc  33798  heiborlem5  33919  heiborlem7  33921  proot1ex  38273