MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpcnne0d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rpcnne0d 12083
Description: A positive real is a nonzero complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
rpred.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
rpcnne0d (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))

Proof of Theorem rpcnne0d
StepHypRef Expression
1 rpred.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
21rpcnd 12076 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
31rpne0d 12079 . 2 (𝜑𝐴 ≠ 0)
42, 3jca 556 1 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  wcel 2143  wne 2941  cc 10134  0cc0 10136  +crp 12034
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1868  ax-4 1883  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2145  ax-9 2152  ax-10 2172  ax-11 2188  ax-12 2201  ax-13 2406  ax-ext 2749  ax-sep 4911  ax-nul 4919  ax-pow 4970  ax-pr 5033  ax-un 7094  ax-resscn 10193  ax-1cn 10194  ax-icn 10195  ax-addcl 10196  ax-addrcl 10197  ax-mulcl 10198  ax-mulrcl 10199  ax-i2m1 10204  ax-1ne0 10205  ax-rnegex 10207  ax-rrecex 10208  ax-cnre 10209  ax-pre-lttri 10210  ax-pre-lttrn 10211
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1632  df-ex 1851  df-nf 1856  df-sb 2048  df-eu 2620  df-mo 2621  df-clab 2756  df-cleq 2762  df-clel 2765  df-nfc 2900  df-ne 2942  df-nel 3045  df-ral 3064  df-rex 3065  df-rab 3068  df-v 3350  df-sbc 3585  df-csb 3680  df-dif 3723  df-un 3725  df-in 3727  df-ss 3734  df-nul 4061  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-op 4320  df-uni 4572  df-br 4784  df-opab 4844  df-mpt 4861  df-id 5156  df-po 5169  df-so 5170  df-xp 5254  df-rel 5255  df-cnv 5256  df-co 5257  df-dm 5258  df-rn 5259  df-res 5260  df-ima 5261  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-ov 6794  df-er 7894  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-pnf 10276  df-mnf 10277  df-ltxr 10279  df-rp 12035
This theorem is referenced by:  expcnv  14807  mertenslem1  14827  divgcdcoprm0  15592  ovolscalem1  23507  aalioulem2  24314  aalioulem3  24315  dvsqrt  24710  cxpcn3lem  24715  relogbval  24737  relogbcl  24738  nnlogbexp  24746  divsqrtsumlem  24933  logexprlim  25177  2lgslem3b  25349  2lgslem3c  25350  2lgslem3d  25351  chebbnd1lem3  25387  chebbnd1  25388  chtppilimlem1  25389  chtppilimlem2  25390  chebbnd2  25393  chpchtlim  25395  chpo1ub  25396  rplogsumlem1  25400  rplogsumlem2  25401  rpvmasumlem  25403  dchrvmasumlem1  25411  dchrvmasum2lem  25412  dchrvmasumlem2  25414  dchrisum0fno1  25427  dchrisum0lem1b  25431  dchrisum0lem1  25432  dchrisum0lem2a  25433  dchrisum0lem2  25434  dchrisum0lem3  25435  rplogsum  25443  mulogsum  25448  mulog2sumlem1  25450  selberglem1  25461  pntrmax  25480  pntpbnd1a  25501  pntibndlem2  25507  pntlemc  25511  pntlemb  25513  pntlemn  25516  pntlemr  25518  pntlemj  25519  pntlemf  25521  pntlemk  25522  pntlemo  25523  pnt2  25529  bcm1n  29895  jm2.21  38087  stoweidlem25  40760  stoweidlem42  40777  wallispilem4  40803  stirlinglem10  40818  fourierdlem39  40881  lighneallem3  42049  dignn0flhalflem1  42934  dignn0flhalflem2  42935
  Copyright terms: Public domain W3C validator