MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpcnne0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rpcnne0 11888
Description: A positive real is a nonzero complex number. (Contributed by NM, 11-Nov-2008.)
Assertion
Ref Expression
rpcnne0 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))

Proof of Theorem rpcnne0
StepHypRef Expression
1 rpcn 11879 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℂ)
2 rpne0 11886 . 2 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≠ 0)
31, 2jca 553 1 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  wcel 2030  wne 2823  cc 9972  0cc0 9974  +crp 11870
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-ltxr 10117  df-rp 11871
This theorem is referenced by:  rpcndif0  11889  mod0  12715  modlt  12719  modcyc  12745  modmuladdnn0  12754  moddi  12778  modirr  12781  aaliou3lem3  24144  aaliou3lem8  24145  reeff1o  24246  reeflog  24372  relogeftb  24376  rpcxpcl  24467  relogbcxp  24568  rlimcnp  24737  rlimcnp2  24738  divsqrtsumlem  24751  harmonicbnd4  24782  logfacrlim  24994  logexprlim  24995  vmadivsum  25216  dchrmusum2  25228  dchrvmasumlem2  25232  dchrvmasumiflem1  25235  dchrisum0lem2a  25251  mudivsum  25264  mulogsumlem  25265  mulog2sumlem2  25269  selberglem2  25280  selberg2lem  25284  selberg2  25285  pntrsumo1  25299  selbergr  25302  pntibndlem2  25325  pntibndlem3  25326  pntlemb  25331  pntlemr  25336  pntlemf  25339  blocnilem  27787  minvecolem3  27860  itg2addnclem2  33592  fllogbd  42679
  Copyright terms: Public domain W3C validator