MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  root1eq1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem root1eq1 24687
Description: The only powers of an 𝑁-th root of unity that equal 1 are the multiples of 𝑁. In other words, -1↑𝑐(2 / 𝑁) has order 𝑁 in the multiplicative group of nonzero complex numbers. (In fact, these and their powers are the only elements of finite order in the complex numbers.) (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
root1eq1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾) = 1 ↔ 𝑁𝐾))

Proof of Theorem root1eq1
StepHypRef Expression
1 2re 11274 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
2 simpl 474 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ)
3 nndivre 11240 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 / 𝑁) ∈ ℝ)
41, 2, 3sylancr 698 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (2 / 𝑁) ∈ ℝ)
54recnd 10252 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (2 / 𝑁) ∈ ℂ)
6 ax-icn 10179 . . . . . . . 8 i ∈ ℂ
7 picn 24402 . . . . . . . 8 π ∈ ℂ
86, 7mulcli 10229 . . . . . . 7 (i · π) ∈ ℂ
98a1i 11 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (i · π) ∈ ℂ)
105, 9mulcld 10244 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((2 / 𝑁) · (i · π)) ∈ ℂ)
11 efexp 15022 . . . . 5 ((((2 / 𝑁) · (i · π)) ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (exp‘(𝐾 · ((2 / 𝑁) · (i · π)))) = ((exp‘((2 / 𝑁) · (i · π)))↑𝐾))
1210, 11sylancom 704 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (exp‘(𝐾 · ((2 / 𝑁) · (i · π)))) = ((exp‘((2 / 𝑁) · (i · π)))↑𝐾))
13 zcn 11566 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
1413adantl 473 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℂ)
15 nncn 11212 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
1615adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
17 2cn 11275 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℂ
1817a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 2 ∈ ℂ)
19 nnne0 11237 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
2019adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝑁 ≠ 0)
2114, 16, 18, 20div32d 11008 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 / 𝑁) · 2) = (𝐾 · (2 / 𝑁)))
2221oveq1d 6820 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (((𝐾 / 𝑁) · 2) · (i · π)) = ((𝐾 · (2 / 𝑁)) · (i · π)))
2314, 16, 20divcld 10985 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐾 / 𝑁) ∈ ℂ)
2423, 18, 9mulassd 10247 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (((𝐾 / 𝑁) · 2) · (i · π)) = ((𝐾 / 𝑁) · (2 · (i · π))))
2514, 5, 9mulassd 10247 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 · (2 / 𝑁)) · (i · π)) = (𝐾 · ((2 / 𝑁) · (i · π))))
2622, 24, 253eqtr3d 2794 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 / 𝑁) · (2 · (i · π))) = (𝐾 · ((2 / 𝑁) · (i · π))))
2726fveq2d 6348 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (exp‘((𝐾 / 𝑁) · (2 · (i · π)))) = (exp‘(𝐾 · ((2 / 𝑁) · (i · π)))))
28 neg1cn 11308 . . . . . . . 8 -1 ∈ ℂ
2928a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → -1 ∈ ℂ)
30 neg1ne0 11310 . . . . . . . 8 -1 ≠ 0
3130a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → -1 ≠ 0)
3229, 31, 5cxpefd 24649 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (-1↑𝑐(2 / 𝑁)) = (exp‘((2 / 𝑁) · (log‘-1))))
33 logm1 24526 . . . . . . . 8 (log‘-1) = (i · π)
3433oveq2i 6816 . . . . . . 7 ((2 / 𝑁) · (log‘-1)) = ((2 / 𝑁) · (i · π))
3534fveq2i 6347 . . . . . 6 (exp‘((2 / 𝑁) · (log‘-1))) = (exp‘((2 / 𝑁) · (i · π)))
3632, 35syl6eq 2802 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (-1↑𝑐(2 / 𝑁)) = (exp‘((2 / 𝑁) · (i · π))))
3736oveq1d 6820 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾) = ((exp‘((2 / 𝑁) · (i · π)))↑𝐾))
3812, 27, 373eqtr4rd 2797 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾) = (exp‘((𝐾 / 𝑁) · (2 · (i · π)))))
3938eqeq1d 2754 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾) = 1 ↔ (exp‘((𝐾 / 𝑁) · (2 · (i · π)))) = 1))
4017, 8mulcli 10229 . . . 4 (2 · (i · π)) ∈ ℂ
41 mulcl 10204 . . . 4 (((𝐾 / 𝑁) ∈ ℂ ∧ (2 · (i · π)) ∈ ℂ) → ((𝐾 / 𝑁) · (2 · (i · π))) ∈ ℂ)
4223, 40, 41sylancl 697 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝐾 / 𝑁) · (2 · (i · π))) ∈ ℂ)
43 efeq1 24466 . . 3 (((𝐾 / 𝑁) · (2 · (i · π))) ∈ ℂ → ((exp‘((𝐾 / 𝑁) · (2 · (i · π)))) = 1 ↔ (((𝐾 / 𝑁) · (2 · (i · π))) / (i · (2 · π))) ∈ ℤ))
4442, 43syl 17 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((exp‘((𝐾 / 𝑁) · (2 · (i · π)))) = 1 ↔ (((𝐾 / 𝑁) · (2 · (i · π))) / (i · (2 · π))) ∈ ℤ))
456, 17, 7mul12i 10415 . . . . . 6 (i · (2 · π)) = (2 · (i · π))
4645oveq2i 6816 . . . . 5 (((𝐾 / 𝑁) · (2 · (i · π))) / (i · (2 · π))) = (((𝐾 / 𝑁) · (2 · (i · π))) / (2 · (i · π)))
4740a1i 11 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (2 · (i · π)) ∈ ℂ)
48 2ne0 11297 . . . . . . . 8 2 ≠ 0
49 ine0 10649 . . . . . . . . 9 i ≠ 0
50 pire 24401 . . . . . . . . . 10 π ∈ ℝ
51 pipos 24403 . . . . . . . . . 10 0 < π
5250, 51gt0ne0ii 10748 . . . . . . . . 9 π ≠ 0
536, 7, 49, 52mulne0i 10854 . . . . . . . 8 (i · π) ≠ 0
5417, 8, 48, 53mulne0i 10854 . . . . . . 7 (2 · (i · π)) ≠ 0
5554a1i 11 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (2 · (i · π)) ≠ 0)
5623, 47, 55divcan4d 10991 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (((𝐾 / 𝑁) · (2 · (i · π))) / (2 · (i · π))) = (𝐾 / 𝑁))
5746, 56syl5eq 2798 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (((𝐾 / 𝑁) · (2 · (i · π))) / (i · (2 · π))) = (𝐾 / 𝑁))
5857eleq1d 2816 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((((𝐾 / 𝑁) · (2 · (i · π))) / (i · (2 · π))) ∈ ℤ ↔ (𝐾 / 𝑁) ∈ ℤ))
59 nnz 11583 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
6059adantr 472 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
61 simpr 479 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℤ)
62 dvdsval2 15177 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁𝐾 ↔ (𝐾 / 𝑁) ∈ ℤ))
6360, 20, 61, 62syl3anc 1473 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁𝐾 ↔ (𝐾 / 𝑁) ∈ ℤ))
6458, 63bitr4d 271 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((((𝐾 / 𝑁) · (2 · (i · π))) / (i · (2 · π))) ∈ ℤ ↔ 𝑁𝐾))
6539, 44, 643bitrd 294 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (((-1↑𝑐(2 / 𝑁))↑𝐾) = 1 ↔ 𝑁𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1624  wcel 2131  wne 2924   class class class wbr 4796  cfv 6041  (class class class)co 6805  cc 10118  cr 10119  0cc0 10120  1c1 10121  ici 10122   · cmul 10125  -cneg 10451   / cdiv 10868  cn 11204  2c2 11254  cz 11561  cexp 13046  expce 14983  πcpi 14988  cdvds 15174  logclog 24492  𝑐ccxp 24493
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-inf2 8703  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197  ax-pre-sup 10198  ax-addf 10199  ax-mulf 10200
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-fal 1630  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-iin 4667  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-se 5218  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-isom 6050  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-of 7054  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-supp 7456  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-2o 7722  df-oadd 7725  df-er 7903  df-map 8017  df-pm 8018  df-ixp 8067  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-fsupp 8433  df-fi 8474  df-sup 8505  df-inf 8506  df-oi 8572  df-card 8947  df-cda 9174  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-div 10869  df-nn 11205  df-2 11263  df-3 11264  df-4 11265  df-5 11266  df-6 11267  df-7 11268  df-8 11269  df-9 11270  df-n0 11477  df-z 11562  df-dec 11678  df-uz 11872  df-q 11974  df-rp 12018  df-xneg 12131  df-xadd 12132  df-xmul 12133  df-ioo 12364  df-ioc 12365  df-ico 12366  df-icc 12367  df-fz 12512  df-fzo 12652  df-fl 12779  df-mod 12855  df-seq 12988  df-exp 13047  df-fac 13247  df-bc 13276  df-hash 13304  df-shft 13998  df-cj 14030  df-re 14031  df-im 14032  df-sqrt 14166  df-abs 14167  df-limsup 14393  df-clim 14410  df-rlim 14411  df-sum 14608  df-ef 14989  df-sin 14991  df-cos 14992  df-pi 14994  df-dvds 15175  df-struct 16053  df-ndx 16054  df-slot 16055  df-base 16057  df-sets 16058  df-ress 16059  df-plusg 16148  df-mulr 16149  df-starv 16150  df-sca 16151  df-vsca 16152  df-ip 16153  df-tset 16154  df-ple 16155  df-ds 16158  df-unif 16159  df-hom 16160  df-cco 16161  df-rest 16277  df-topn 16278  df-0g 16296  df-gsum 16297  df-topgen 16298  df-pt 16299  df-prds 16302  df-xrs 16356  df-qtop 16361  df-imas 16362  df-xps 16364  df-mre 16440  df-mrc 16441  df-acs 16443  df-mgm 17435  df-sgrp 17477  df-mnd 17488  df-submnd 17529  df-mulg 17734  df-cntz 17942  df-cmn 18387  df-psmet 19932  df-xmet 19933  df-met 19934  df-bl 19935  df-mopn 19936  df-fbas 19937  df-fg 19938  df-cnfld 19941  df-top 20893  df-topon 20910  df-topsp 20931  df-bases 20944  df-cld 21017  df-ntr 21018  df-cls 21019  df-nei 21096  df-lp 21134  df-perf 21135  df-cn 21225  df-cnp 21226  df-haus 21313  df-tx 21559  df-hmeo 21752  df-fil 21843  df-fm 21935  df-flim 21936  df-flf 21937  df-xms 22318  df-ms 22319  df-tms 22320  df-cncf 22874  df-limc 23821  df-dv 23822  df-log 24494  df-cxp 24495
This theorem is referenced by:  dchrptlem1  25180  dchrptlem2  25181
  Copyright terms: Public domain W3C validator