Theorem rnmptfi 39869

Description: The range of a function with finite domain is finite. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
rnmptfi.a	⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
rnmptfi	⊢ (𝐵 ∈ Fin → ran 𝐴 ∈ Fin)

Distinct variable group:   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem rnmptfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rnmptfi.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
2		mptfi 8433	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ Fin)
3	1, 2	syl5eqel 2844	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → 𝐴 ∈ Fin)
4		rnfi 8417	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ran 𝐴 ∈ Fin)
5	3, 4	syl 17	1 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → ran 𝐴 ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1632   ∈ wcel 2140   ↦ cmpt 4882  ran crn 5268  Fincfn 8124

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-int 4629  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-om 7233  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-1o 7731  df-oadd 7735  df-er 7914  df-en 8125  df-dom 8126  df-fin 8128

This theorem is referenced by:  fisupclrnmpt  40139  stoweidlem35  40774  fourierdlem50  40895  fourierdlem70  40915  fourierdlem71  40916  fourierdlem76  40921  fourierdlem80  40925  fourierdlem103  40948  fourierdlem104  40949  ioorrnopnlem  41046  hoidmvlelem2  41335  iunhoiioolem  41414  vonioolem1  41419