Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rngurd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rngurd 30128
Description: Deduce the unit of a ring from its properties. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Sep-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rngurd.b (𝜑𝐵 = (Base‘𝑅))
rngurd.p (𝜑· = (.r𝑅))
rngurd.z (𝜑1𝐵)
rngurd.i ((𝜑𝑥𝐵) → ( 1 · 𝑥) = 𝑥)
rngurd.j ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑥 · 1 ) = 𝑥)
Assertion
Ref Expression
rngurd (𝜑1 = (1r𝑅))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝑅   𝑥, 1   𝑥, ·   𝜑,𝑥

Proof of Theorem rngurd
Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2771 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2 eqid 2771 . . 3 (.r𝑅) = (.r𝑅)
3 eqid 2771 . . 3 (1r𝑅) = (1r𝑅)
41, 2, 3dfur2 18712 . 2 (1r𝑅) = (℩𝑒(𝑒 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝑒(.r𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝑅)𝑒) = 𝑥)))
5 rngurd.z . . . 4 (𝜑1𝐵)
6 rngurd.b . . . 4 (𝜑𝐵 = (Base‘𝑅))
75, 6eleqtrd 2852 . . 3 (𝜑1 ∈ (Base‘𝑅))
8 rngurd.i . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐵) → ( 1 · 𝑥) = 𝑥)
9 rngurd.j . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑥 · 1 ) = 𝑥)
108, 9jca 501 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵) → (( 1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 1 ) = 𝑥))
1110ralrimiva 3115 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥𝐵 (( 1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 1 ) = 𝑥))
12 rngurd.p . . . . . . . . 9 (𝜑· = (.r𝑅))
1312adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐵) → · = (.r𝑅))
1413oveqd 6810 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐵) → ( 1 · 𝑥) = ( 1 (.r𝑅)𝑥))
1514eqeq1d 2773 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐵) → (( 1 · 𝑥) = 𝑥 ↔ ( 1 (.r𝑅)𝑥) = 𝑥))
1613oveqd 6810 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑥 · 1 ) = (𝑥(.r𝑅) 1 ))
1716eqeq1d 2773 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐵) → ((𝑥 · 1 ) = 𝑥 ↔ (𝑥(.r𝑅) 1 ) = 𝑥))
1815, 17anbi12d 616 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵) → ((( 1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 1 ) = 𝑥) ↔ (( 1 (.r𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝑅) 1 ) = 𝑥)))
196, 18raleqbidva 3303 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑥𝐵 (( 1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 1 ) = 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)(( 1 (.r𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝑅) 1 ) = 𝑥)))
2011, 19mpbid 222 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)(( 1 (.r𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝑅) 1 ) = 𝑥))
216eleq2d 2836 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑒𝐵𝑒 ∈ (Base‘𝑅)))
2213oveqd 6810 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑒 · 𝑥) = (𝑒(.r𝑅)𝑥))
2322eqeq1d 2773 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐵) → ((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ↔ (𝑒(.r𝑅)𝑥) = 𝑥))
2413oveqd 6810 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝑥 · 𝑒) = (𝑥(.r𝑅)𝑒))
2524eqeq1d 2773 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐵) → ((𝑥 · 𝑒) = 𝑥 ↔ (𝑥(.r𝑅)𝑒) = 𝑥))
2623, 25anbi12d 616 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐵) → (((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑒) = 𝑥) ↔ ((𝑒(.r𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝑅)𝑒) = 𝑥)))
276, 26raleqbidva 3303 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∀𝑥𝐵 ((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑒) = 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝑒(.r𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝑅)𝑒) = 𝑥)))
2821, 27anbi12d 616 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑒𝐵 ∧ ∀𝑥𝐵 ((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑒) = 𝑥)) ↔ (𝑒 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝑒(.r𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝑅)𝑒) = 𝑥))))
298ralrimiva 3115 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑥𝐵 ( 1 · 𝑥) = 𝑥)
3029adantr 466 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑒𝐵) → ∀𝑥𝐵 ( 1 · 𝑥) = 𝑥)
31 simpr 471 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑒𝐵) → 𝑒𝐵)
32 simpr 471 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑒𝐵) ∧ 𝑥 = 𝑒) → 𝑥 = 𝑒)
3332oveq2d 6809 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑒𝐵) ∧ 𝑥 = 𝑒) → ( 1 · 𝑥) = ( 1 · 𝑒))
3433, 32eqeq12d 2786 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑒𝐵) ∧ 𝑥 = 𝑒) → (( 1 · 𝑥) = 𝑥 ↔ ( 1 · 𝑒) = 𝑒))
3531, 34rspcdv 3463 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑒𝐵) → (∀𝑥𝐵 ( 1 · 𝑥) = 𝑥 → ( 1 · 𝑒) = 𝑒))
3630, 35mpd 15 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑒𝐵) → ( 1 · 𝑒) = 𝑒)
3736adantrr 696 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑒𝐵 ∧ ∀𝑥𝐵 ((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑒) = 𝑥))) → ( 1 · 𝑒) = 𝑒)
385adantr 466 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑒𝐵 ∧ ∀𝑥𝐵 ((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑒) = 𝑥))) → 1𝐵)
39 simprr 756 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑒𝐵 ∧ ∀𝑥𝐵 ((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑒) = 𝑥))) → ∀𝑥𝐵 ((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑒) = 𝑥))
40 oveq2 6801 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 1 → (𝑒 · 𝑥) = (𝑒 · 1 ))
41 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 1𝑥 = 1 )
4240, 41eqeq12d 2786 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 1 → ((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ↔ (𝑒 · 1 ) = 1 ))
43 oveq1 6800 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 1 → (𝑥 · 𝑒) = ( 1 · 𝑒))
4443, 41eqeq12d 2786 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 1 → ((𝑥 · 𝑒) = 𝑥 ↔ ( 1 · 𝑒) = 1 ))
4542, 44anbi12d 616 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 1 → (((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑒) = 𝑥) ↔ ((𝑒 · 1 ) = 1 ∧ ( 1 · 𝑒) = 1 )))
4645rspcva 3458 . . . . . . . . . . 11 (( 1𝐵 ∧ ∀𝑥𝐵 ((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑒) = 𝑥)) → ((𝑒 · 1 ) = 1 ∧ ( 1 · 𝑒) = 1 ))
4746simprd 483 . . . . . . . . . 10 (( 1𝐵 ∧ ∀𝑥𝐵 ((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑒) = 𝑥)) → ( 1 · 𝑒) = 1 )
4838, 39, 47syl2anc 573 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑒𝐵 ∧ ∀𝑥𝐵 ((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑒) = 𝑥))) → ( 1 · 𝑒) = 1 )
4937, 48eqtr3d 2807 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑒𝐵 ∧ ∀𝑥𝐵 ((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑒) = 𝑥))) → 𝑒 = 1 )
5049ex 397 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑒𝐵 ∧ ∀𝑥𝐵 ((𝑒 · 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 · 𝑒) = 𝑥)) → 𝑒 = 1 ))
5128, 50sylbird 250 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑒 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝑒(.r𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝑅)𝑒) = 𝑥)) → 𝑒 = 1 ))
5251alrimiv 2007 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑒((𝑒 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝑒(.r𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝑅)𝑒) = 𝑥)) → 𝑒 = 1 ))
53 eleq1 2838 . . . . . . 7 (𝑒 = 1 → (𝑒 ∈ (Base‘𝑅) ↔ 1 ∈ (Base‘𝑅)))
54 oveq1 6800 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = 1 → (𝑒(.r𝑅)𝑥) = ( 1 (.r𝑅)𝑥))
5554eqeq1d 2773 . . . . . . . . 9 (𝑒 = 1 → ((𝑒(.r𝑅)𝑥) = 𝑥 ↔ ( 1 (.r𝑅)𝑥) = 𝑥))
56 oveq2 6801 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = 1 → (𝑥(.r𝑅)𝑒) = (𝑥(.r𝑅) 1 ))
5756eqeq1d 2773 . . . . . . . . 9 (𝑒 = 1 → ((𝑥(.r𝑅)𝑒) = 𝑥 ↔ (𝑥(.r𝑅) 1 ) = 𝑥))
5855, 57anbi12d 616 . . . . . . . 8 (𝑒 = 1 → (((𝑒(.r𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝑅)𝑒) = 𝑥) ↔ (( 1 (.r𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝑅) 1 ) = 𝑥)))
5958ralbidv 3135 . . . . . . 7 (𝑒 = 1 → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝑒(.r𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝑅)𝑒) = 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)(( 1 (.r𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝑅) 1 ) = 𝑥)))
6053, 59anbi12d 616 . . . . . 6 (𝑒 = 1 → ((𝑒 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝑒(.r𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝑅)𝑒) = 𝑥)) ↔ ( 1 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)(( 1 (.r𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝑅) 1 ) = 𝑥))))
6160eqeu 3529 . . . . 5 (( 1 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ( 1 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)(( 1 (.r𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝑅) 1 ) = 𝑥)) ∧ ∀𝑒((𝑒 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝑒(.r𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝑅)𝑒) = 𝑥)) → 𝑒 = 1 )) → ∃!𝑒(𝑒 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝑒(.r𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝑅)𝑒) = 𝑥)))
627, 7, 20, 52, 61syl121anc 1481 . . . 4 (𝜑 → ∃!𝑒(𝑒 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝑒(.r𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝑅)𝑒) = 𝑥)))
6360iota2 6020 . . . 4 (( 1𝐵 ∧ ∃!𝑒(𝑒 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝑒(.r𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝑅)𝑒) = 𝑥))) → (( 1 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)(( 1 (.r𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝑅) 1 ) = 𝑥)) ↔ (℩𝑒(𝑒 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝑒(.r𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝑅)𝑒) = 𝑥))) = 1 ))
645, 62, 63syl2anc 573 . . 3 (𝜑 → (( 1 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)(( 1 (.r𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝑅) 1 ) = 𝑥)) ↔ (℩𝑒(𝑒 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝑒(.r𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝑅)𝑒) = 𝑥))) = 1 ))
657, 20, 64mpbi2and 691 . 2 (𝜑 → (℩𝑒(𝑒 ∈ (Base‘𝑅) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)((𝑒(.r𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r𝑅)𝑒) = 𝑥))) = 1 )
664, 65syl5req 2818 1 (𝜑1 = (1r𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  wal 1629   = wceq 1631  wcel 2145  ∃!weu 2618  wral 3061  cio 5992  cfv 6031  (class class class)co 6793  Basecbs 16064  .rcmulr 16150  1rcur 18709
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-plusg 16162  df-0g 16310  df-mgp 18698  df-ur 18710
This theorem is referenced by:  ress1r  30129
  Copyright terms: Public domain W3C validator