Theorem rngnegr 18803

Description: Negation in a ring is the same as right multiplication by -1. (rngonegmn1r 34073 analog.) (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringnegl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringnegl.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
ringnegl.u	⊢ 1 = (1r‘𝑅)
ringnegl.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
ringnegl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
ringnegl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
rngnegr	⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝑁‘ 1 )) = (𝑁‘𝑋))

Proof of Theorem rngnegr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringnegl.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
2		ringnegl.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		ringgrp 18760	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
4	1, 3	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
5		ringnegl.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6		ringnegl.u	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
7	5, 6	ringidcl 18776	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ 𝐵)
8	1, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐵)
9		ringnegl.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
10	5, 9	grpinvcl 17675	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 1 ∈ 𝐵) → (𝑁‘ 1 ) ∈ 𝐵)
11	4, 8, 10	syl2anc 573	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘ 1 ) ∈ 𝐵)
12		eqid 2771	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
13		ringnegl.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
14	5, 12, 13	ringdi 18774	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑁‘ 1 ) ∈ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐵)) → (𝑋 · ((𝑁‘ 1 )(+g‘𝑅) 1 )) = ((𝑋 · (𝑁‘ 1 ))(+g‘𝑅)(𝑋 · 1 )))
15	1, 2, 11, 8, 14	syl13anc 1478	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · ((𝑁‘ 1 )(+g‘𝑅) 1 )) = ((𝑋 · (𝑁‘ 1 ))(+g‘𝑅)(𝑋 · 1 )))
16		eqid 2771	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
17	5, 12, 16, 9	grplinv 17676	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 1 ∈ 𝐵) → ((𝑁‘ 1 )(+g‘𝑅) 1 ) = (0g‘𝑅))
18	4, 8, 17	syl2anc 573	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘ 1 )(+g‘𝑅) 1 ) = (0g‘𝑅))
19	18	oveq2d 6812	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · ((𝑁‘ 1 )(+g‘𝑅) 1 )) = (𝑋 · (0g‘𝑅)))
20	5, 13, 16	ringrz 18796	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 · (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
21	1, 2, 20	syl2anc 573	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
22	19, 21	eqtrd 2805	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · ((𝑁‘ 1 )(+g‘𝑅) 1 )) = (0g‘𝑅))
23	5, 13, 6	ringridm 18780	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 1 ) = 𝑋)
24	1, 2, 23	syl2anc 573	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 1 ) = 𝑋)
25	24	oveq2d 6812	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · (𝑁‘ 1 ))(+g‘𝑅)(𝑋 · 1 )) = ((𝑋 · (𝑁‘ 1 ))(+g‘𝑅)𝑋))
26	15, 22, 25	3eqtr3rd 2814	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · (𝑁‘ 1 ))(+g‘𝑅)𝑋) = (0g‘𝑅))
27	5, 13	ringcl 18769	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑁‘ 1 ) ∈ 𝐵) → (𝑋 · (𝑁‘ 1 )) ∈ 𝐵)
28	1, 2, 11, 27	syl3anc 1476	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝑁‘ 1 )) ∈ 𝐵)
29	5, 12, 16, 9	grpinvid2 17679	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 · (𝑁‘ 1 )) ∈ 𝐵) → ((𝑁‘𝑋) = (𝑋 · (𝑁‘ 1 )) ↔ ((𝑋 · (𝑁‘ 1 ))(+g‘𝑅)𝑋) = (0g‘𝑅)))
30	4, 2, 28, 29	syl3anc 1476	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑋) = (𝑋 · (𝑁‘ 1 )) ↔ ((𝑋 · (𝑁‘ 1 ))(+g‘𝑅)𝑋) = (0g‘𝑅)))
31	26, 30	mpbird 247	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑋) = (𝑋 · (𝑁‘ 1 )))
32	31	eqcomd 2777	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝑁‘ 1 )) = (𝑁‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6030  (class class class)co 6796  Basecbs 16064  +_gcplusg 16149  ._rcmulr 16150  0_gc0g 16308  Grpcgrp 17630  inv_gcminusg 17631  1_rcur 18709  Ringcrg 18755

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-nn 11227  df-2 11285  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-plusg 16162  df-0g 16310  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-ring 18757

This theorem is referenced by:  ringmneg2  18805  irredneg  18918  lmodsubdi  19130  mdetunilem7  20642  ldualvsubval  34966  lcdvsubval  37428  mapdpglem30  37512