Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rnghmf1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rnghmf1o 42421
 Description: A non-unital ring homomorphism is bijective iff its converse is also a non-unital ring homomorphism. (Contributed by AV, 27-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
rnghmf1o.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
rnghmf1o.c 𝐶 = (Base‘𝑆)
Assertion
Ref Expression
rnghmf1o (𝐹 ∈ (𝑅 RngHomo 𝑆) → (𝐹:𝐵1-1-onto𝐶𝐹 ∈ (𝑆 RngHomo 𝑅)))

Proof of Theorem rnghmf1o
StepHypRef Expression
1 rnghmrcl 42407 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑅 RngHomo 𝑆) → (𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑆 ∈ Rng))
21ancomd 453 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑅 RngHomo 𝑆) → (𝑆 ∈ Rng ∧ 𝑅 ∈ Rng))
32adantr 466 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑅 RngHomo 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵1-1-onto𝐶) → (𝑆 ∈ Rng ∧ 𝑅 ∈ Rng))
4 simpr 471 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑅 RngHomo 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵1-1-onto𝐶) → 𝐹:𝐵1-1-onto𝐶)
5 rnghmghm 42416 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝑅 RngHomo 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
65adantr 466 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑅 RngHomo 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵1-1-onto𝐶) → 𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆))
7 rnghmf1o.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑅)
8 rnghmf1o.c . . . . . . . 8 𝐶 = (Base‘𝑆)
97, 8ghmf1o 17897 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → (𝐹:𝐵1-1-onto𝐶𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑅)))
109bicomd 213 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) → (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑅) ↔ 𝐹:𝐵1-1-onto𝐶))
116, 10syl 17 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑅 RngHomo 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵1-1-onto𝐶) → (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑅) ↔ 𝐹:𝐵1-1-onto𝐶))
124, 11mpbird 247 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RngHomo 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵1-1-onto𝐶) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑅))
13 eqidd 2771 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝑅 RngHomo 𝑆) → 𝐹 = 𝐹)
14 eqid 2770 . . . . . . . . 9 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
1514, 7mgpbas 18702 . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
1615a1i 11 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝑅 RngHomo 𝑆) → 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
17 eqid 2770 . . . . . . . . 9 (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
1817, 8mgpbas 18702 . . . . . . . 8 𝐶 = (Base‘(mulGrp‘𝑆))
1918a1i 11 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝑅 RngHomo 𝑆) → 𝐶 = (Base‘(mulGrp‘𝑆)))
2013, 16, 19f1oeq123d 6274 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑅 RngHomo 𝑆) → (𝐹:𝐵1-1-onto𝐶𝐹:(Base‘(mulGrp‘𝑅))–1-1-onto→(Base‘(mulGrp‘𝑆))))
2120biimpa 462 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑅 RngHomo 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵1-1-onto𝐶) → 𝐹:(Base‘(mulGrp‘𝑅))–1-1-onto→(Base‘(mulGrp‘𝑆)))
2214, 17rnghmmgmhm 42412 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝑅 RngHomo 𝑆) → 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MgmHom (mulGrp‘𝑆)))
2322adantr 466 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑅 RngHomo 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵1-1-onto𝐶) → 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MgmHom (mulGrp‘𝑆)))
24 eqid 2770 . . . . . . . 8 (Base‘(mulGrp‘𝑅)) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
25 eqid 2770 . . . . . . . 8 (Base‘(mulGrp‘𝑆)) = (Base‘(mulGrp‘𝑆))
2624, 25mgmhmf1o 42305 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MgmHom (mulGrp‘𝑆)) → (𝐹:(Base‘(mulGrp‘𝑅))–1-1-onto→(Base‘(mulGrp‘𝑆)) ↔ 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MgmHom (mulGrp‘𝑅))))
2726bicomd 213 . . . . . 6 (𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MgmHom (mulGrp‘𝑆)) → (𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MgmHom (mulGrp‘𝑅)) ↔ 𝐹:(Base‘(mulGrp‘𝑅))–1-1-onto→(Base‘(mulGrp‘𝑆))))
2823, 27syl 17 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝑅 RngHomo 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵1-1-onto𝐶) → (𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MgmHom (mulGrp‘𝑅)) ↔ 𝐹:(Base‘(mulGrp‘𝑅))–1-1-onto→(Base‘(mulGrp‘𝑆))))
2921, 28mpbird 247 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RngHomo 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵1-1-onto𝐶) → 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MgmHom (mulGrp‘𝑅)))
3012, 29jca 495 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑅 RngHomo 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵1-1-onto𝐶) → (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑅) ∧ 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MgmHom (mulGrp‘𝑅))))
3117, 14isrnghmmul 42411 . . 3 (𝐹 ∈ (𝑆 RngHomo 𝑅) ↔ ((𝑆 ∈ Rng ∧ 𝑅 ∈ Rng) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑅) ∧ 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑆) MgmHom (mulGrp‘𝑅)))))
323, 30, 31sylanbrc 564 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑅 RngHomo 𝑆) ∧ 𝐹:𝐵1-1-onto𝐶) → 𝐹 ∈ (𝑆 RngHomo 𝑅))
337, 8rnghmf 42417 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑅 RngHomo 𝑆) → 𝐹:𝐵𝐶)
3433adantr 466 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RngHomo 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 RngHomo 𝑅)) → 𝐹:𝐵𝐶)
35 ffn 6185 . . . 4 (𝐹:𝐵𝐶𝐹 Fn 𝐵)
3634, 35syl 17 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑅 RngHomo 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 RngHomo 𝑅)) → 𝐹 Fn 𝐵)
378, 7rnghmf 42417 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑆 RngHomo 𝑅) → 𝐹:𝐶𝐵)
3837adantl 467 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 RngHomo 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 RngHomo 𝑅)) → 𝐹:𝐶𝐵)
39 ffn 6185 . . . 4 (𝐹:𝐶𝐵𝐹 Fn 𝐶)
4038, 39syl 17 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑅 RngHomo 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 RngHomo 𝑅)) → 𝐹 Fn 𝐶)
41 dff1o4 6286 . . 3 (𝐹:𝐵1-1-onto𝐶 ↔ (𝐹 Fn 𝐵𝐹 Fn 𝐶))
4236, 40, 41sylanbrc 564 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑅 RngHomo 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ (𝑆 RngHomo 𝑅)) → 𝐹:𝐵1-1-onto𝐶)
4332, 42impbida 794 1 (𝐹 ∈ (𝑅 RngHomo 𝑆) → (𝐹:𝐵1-1-onto𝐶𝐹 ∈ (𝑆 RngHomo 𝑅)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   = wceq 1630   ∈ wcel 2144  ◡ccnv 5248   Fn wfn 6026  ⟶wf 6027  –1-1-onto→wf1o 6030  ‘cfv 6031  (class class class)co 6792  Basecbs 16063   GrpHom cghm 17864  mulGrpcmgp 18696   MgmHom cmgmhm 42295  Rngcrng 42392   RngHomo crngh 42403 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-er 7895  df-map 8010  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-2 11280  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-sets 16070  df-plusg 16161  df-mgm 17449  df-sgrp 17491  df-mnd 17502  df-grp 17632  df-ghm 17865  df-abl 18402  df-mgp 18697  df-mgmhm 42297  df-rng0 42393  df-rnghomo 42405 This theorem is referenced by:  isrngim  42422
 Copyright terms: Public domain W3C validator