Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rngcrescrhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rngcrescrhm 42603
Description: The category of non-unital rings (in a universe) restricted to the ring homomorphisms between unital rings (in the same universe). (Contributed by AV, 1-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
rngcrescrhm.u (𝜑𝑈𝑉)
rngcrescrhm.c 𝐶 = (RngCat‘𝑈)
rngcrescrhm.r (𝜑𝑅 = (Ring ∩ 𝑈))
rngcrescrhm.h 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅))
Assertion
Ref Expression
rngcrescrhm (𝜑 → (𝐶cat 𝐻) = ((𝐶s 𝑅) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩))

Proof of Theorem rngcrescrhm
StepHypRef Expression
1 eqid 2770 . 2 (𝐶cat 𝐻) = (𝐶cat 𝐻)
2 rngcrescrhm.c . . . 4 𝐶 = (RngCat‘𝑈)
3 fvex 6342 . . . 4 (RngCat‘𝑈) ∈ V
42, 3eqeltri 2845 . . 3 𝐶 ∈ V
54a1i 11 . 2 (𝜑𝐶 ∈ V)
6 rngcrescrhm.r . . . 4 (𝜑𝑅 = (Ring ∩ 𝑈))
7 incom 3954 . . . 4 (Ring ∩ 𝑈) = (𝑈 ∩ Ring)
86, 7syl6eq 2820 . . 3 (𝜑𝑅 = (𝑈 ∩ Ring))
9 rngcrescrhm.u . . . 4 (𝜑𝑈𝑉)
10 inex1g 4932 . . . 4 (𝑈𝑉 → (𝑈 ∩ Ring) ∈ V)
119, 10syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑈 ∩ Ring) ∈ V)
128, 11eqeltrd 2849 . 2 (𝜑𝑅 ∈ V)
13 inss1 3979 . . . . . 6 (Ring ∩ 𝑈) ⊆ Ring
146, 13syl6eqss 3802 . . . . 5 (𝜑𝑅 ⊆ Ring)
15 xpss12 5264 . . . . 5 ((𝑅 ⊆ Ring ∧ 𝑅 ⊆ Ring) → (𝑅 × 𝑅) ⊆ (Ring × Ring))
1614, 14, 15syl2anc 565 . . . 4 (𝜑 → (𝑅 × 𝑅) ⊆ (Ring × Ring))
17 rhmfn 42436 . . . . 5 RingHom Fn (Ring × Ring)
18 fnssresb 6143 . . . . 5 ( RingHom Fn (Ring × Ring) → (( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅)) Fn (𝑅 × 𝑅) ↔ (𝑅 × 𝑅) ⊆ (Ring × Ring)))
1917, 18mp1i 13 . . . 4 (𝜑 → (( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅)) Fn (𝑅 × 𝑅) ↔ (𝑅 × 𝑅) ⊆ (Ring × Ring)))
2016, 19mpbird 247 . . 3 (𝜑 → ( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅)) Fn (𝑅 × 𝑅))
21 rngcrescrhm.h . . . 4 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅))
2221fneq1i 6125 . . 3 (𝐻 Fn (𝑅 × 𝑅) ↔ ( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅)) Fn (𝑅 × 𝑅))
2320, 22sylibr 224 . 2 (𝜑𝐻 Fn (𝑅 × 𝑅))
241, 5, 12, 23rescval2 16694 1 (𝜑 → (𝐶cat 𝐻) = ((𝐶s 𝑅) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196   = wceq 1630  wcel 2144  Vcvv 3349  cin 3720  wss 3721  cop 4320   × cxp 5247  cres 5251   Fn wfn 6026  cfv 6031  (class class class)co 6792  ndxcnx 16060   sSet csts 16061  s cress 16064  Hom chom 16159  cat cresc 16674  Ringcrg 18754   RingHom crh 18921  RngCatcrngc 42475
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-er 7895  df-map 8010  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-2 11280  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-sets 16070  df-plusg 16161  df-0g 16309  df-resc 16677  df-mhm 17542  df-ghm 17865  df-mgp 18697  df-ur 18709  df-ring 18756  df-rnghom 18924
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator