Theorem rnfi 8416

Description: The range of a finite set is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rnfi	⊢ (𝐴 ∈ Fin → ran 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem rnfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rn 5277	. 2 ⊢ ran 𝐴 = dom ◡𝐴
2		cnvfi 8415	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ◡𝐴 ∈ Fin)
3		dmfi 8411	. . 3 ⊢ (◡𝐴 ∈ Fin → dom ◡𝐴 ∈ Fin)
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → dom ◡𝐴 ∈ Fin)
5	1, 4	syl5eqel 2843	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ran 𝐴 ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2139  ^◡ccnv 5265  dom cdm 5266  ran crn 5267  Fincfn 8123

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-1o 7730  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-fin 8127

This theorem is referenced by:  f1dmvrnfibi  8417  unirnffid  8425  abrexfi  8433  gsum2dlem1  18589  gsum2dlem2  18590  tsmsxplem1  22177  prdsmet  22396  relfi  29743  imafi2  29819  cmpcref  30247  carsggect  30710  carsgclctunlem2  30711  carsgclctunlem3  30712  breprexplema  31038  ptrecube  33740  heicant  33775  mblfinlem1  33777  ftc1anclem3  33818  istotbnd3  33901  sstotbnd2  33904  sstotbnd  33905  totbndbnd  33919  rnmptfi  39868  rnffi  39873  choicefi  39909  stoweidlem39  40777  stoweidlem59  40797  fourierdlem31  40876  fourierdlem42  40887  fourierdlem54  40898  aacllem  43078