Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rnexg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rnexg 7140
 Description: The range of a set is a set. Corollary 6.8(3) of [TakeutiZaring] p. 26. Similar to Lemma 3D of [Enderton] p. 41. (Contributed by NM, 31-Mar-1995.)
Assertion
Ref Expression
rnexg (𝐴𝑉 → ran 𝐴 ∈ V)

Proof of Theorem rnexg
StepHypRef Expression
1 uniexg 6997 . 2 (𝐴𝑉 𝐴 ∈ V)
2 uniexg 6997 . 2 ( 𝐴 ∈ V → 𝐴 ∈ V)
3 ssun2 3810 . . . 4 ran 𝐴 ⊆ (dom 𝐴 ∪ ran 𝐴)
4 dmrnssfld 5416 . . . 4 (dom 𝐴 ∪ ran 𝐴) ⊆ 𝐴
53, 4sstri 3645 . . 3 ran 𝐴 𝐴
6 ssexg 4837 . . 3 ((ran 𝐴 𝐴 𝐴 ∈ V) → ran 𝐴 ∈ V)
75, 6mpan 706 . 2 ( 𝐴 ∈ V → ran 𝐴 ∈ V)
81, 2, 73syl 18 1 (𝐴𝑉 → ran 𝐴 ∈ V)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2030  Vcvv 3231   ∪ cun 3605   ⊆ wss 3607  ∪ cuni 4468  dom cdm 5143  ran crn 5144 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pr 4936  ax-un 6991 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-cnv 5151  df-dm 5153  df-rn 5154 This theorem is referenced by:  rnex  7142  imaexg  7145  xpexr  7148  xpexr2  7149  soex  7151  cnvexg  7154  coexg  7159  cofunexg  7172  funrnex  7175  abrexexg  7182  tposexg  7411  iunon  7481  onoviun  7485  tz7.44lem1  7546  tz7.44-3  7549  fopwdom  8109  disjen  8158  domss2  8160  domssex  8162  hartogslem2  8489  dfac12lem2  9004  unirnfdomd  9427  focdmex  13179  hashimarn  13265  trclexlem  13779  relexp0g  13806  relexpsucnnr  13809  restval  16134  prdsbas  16164  prdsplusg  16165  prdsmulr  16166  prdsvsca  16167  prdshom  16174  sscpwex  16522  sylow1lem4  18062  sylow3lem2  18089  sylow3lem3  18090  lsmvalx  18100  txindislem  21484  xkoptsub  21505  fmfnfmlem3  21807  fmfnfmlem4  21808  ustuqtoplem  22090  ustuqtop0  22091  utopsnneiplem  22098  efabl  24341  efsubm  24342  perpln1  25650  perpln2  25651  isperp  25652  lmif  25722  islmib  25724  isgrpo  27479  grpoinvfval  27504  grpodivfval  27516  isvcOLD  27562  isnv  27595  abrexexd  29473  acunirnmpt  29587  acunirnmpt2  29588  acunirnmpt2f  29589  locfinreflem  30035  esumrnmpt2  30258  sxsigon  30383  omssubadd  30490  carsgclctunlem2  30509  pmeasadd  30515  sitgclg  30532  bnj1366  31026  ptrest  33538  elghomlem1OLD  33814  elghomlem2OLD  33815  isrngod  33827  iscringd  33927  xrnresex  34304  dfcnvrefrels2  34416  dfcnvrefrels3  34417  lmhmlnmsplit  37974  rclexi  38239  rtrclexlem  38240  trclubgNEW  38242  cnvrcl0  38249  dfrtrcl5  38253  relexpmulg  38319  relexp01min  38322  relexpxpmin  38326  unirnmap  39714  unirnmapsn  39720  ssmapsn  39722  fourierdlem70  40711  fourierdlem71  40712  fourierdlem80  40721  meadjiunlem  41000  omeiunle  41052
 Copyright terms: Public domain W3C validator