MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rn0 5409
Description: The range of the empty set is empty. Part of Theorem 3.8(v) of [Monk1] p. 36. (Contributed by NM, 4-Jul-1994.)
Assertion
Ref Expression
rn0 ran ∅ = ∅

Proof of Theorem rn0
StepHypRef Expression
1 dm0 5371 . 2 dom ∅ = ∅
2 dm0rn0 5374 . 2 (dom ∅ = ∅ ↔ ran ∅ = ∅)
31, 2mpbi 220 1 ran ∅ = ∅
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1523  c0 3948  dom cdm 5143  ran crn 5144
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pr 4936
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-rab 2950  df-v 3233  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-br 4686  df-opab 4746  df-cnv 5151  df-dm 5153  df-rn 5154
This theorem is referenced by:  ima0  5516  0ima  5517  rnxpid  5602  xpima  5611  f0  6124  2ndval  7213  frxp  7332  oarec  7687  fodomr  8152  dfac5lem3  8986  itunitc  9281  0rest  16137  arwval  16740  pmtrfrn  17924  psgnsn  17986  oppglsm  18103  mpfrcl  19566  ply1frcl  19731  edgval  25986  0grsubgr  26215  0uhgrsubgr  26216  0ngrp  27493  bafval  27587  locfinref  30036  esumrnmpt2  30258  sibf0  30524  mvtval  31523  mrsubrn  31536  mrsub0  31539  mrsubf  31540  mrsubccat  31541  mrsubcn  31542  mrsubco  31544  mrsubvrs  31545  elmsubrn  31551  msubrn  31552  msubf  31555  mstaval  31567  mzpmfp  37627  dmnonrel  38213  imanonrel  38216  conrel1d  38272  clsneibex  38717  neicvgbex  38727  sge00  40911
  Copyright terms: Public domain W3C validator