Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rmyluc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rmyluc 38023
 Description: The Y sequence is a Lucas sequence, definable via this second-order recurrence with rmy0 38015 and rmy1 38016. Part 3 of equation 2.12 of [JonesMatijasevic] p. 695. JonesMatijasevic uses this theorem to redefine the X and Y sequences to have domain (ℤ × ℤ), which simplifies some later theorems. It may shorten the derivation to use this as our initial definition. Incidentally, the X sequence satisfies the exact same recurrence. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
rmyluc ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑁 + 1)) = ((2 · ((𝐴 Yrm 𝑁) · 𝐴)) − (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))))

Proof of Theorem rmyluc
StepHypRef Expression
1 peano2z 11631 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
2 frmy 38000 . . . . 5 Yrm :((ℤ‘2) × ℤ)⟶ℤ
32fovcl 6932 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑁 + 1)) ∈ ℤ)
41, 3sylan2 492 . . 3 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑁 + 1)) ∈ ℤ)
54zcnd 11696 . 2 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
6 2cn 11304 . . . 4 2 ∈ ℂ
72fovcl 6932 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ)
87zcnd 11696 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℂ)
9 eluzelcn 11912 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℂ)
109adantr 472 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℂ)
118, 10mulcld 10273 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Yrm 𝑁) · 𝐴) ∈ ℂ)
12 mulcl 10233 . . . 4 ((2 ∈ ℂ ∧ ((𝐴 Yrm 𝑁) · 𝐴) ∈ ℂ) → (2 · ((𝐴 Yrm 𝑁) · 𝐴)) ∈ ℂ)
136, 11, 12sylancr 698 . . 3 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2 · ((𝐴 Yrm 𝑁) · 𝐴)) ∈ ℂ)
14 peano2zm 11633 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
152fovcl 6932 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) ∈ ℤ)
1614, 15sylan2 492 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) ∈ ℤ)
1716zcnd 11696 . . 3 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) ∈ ℂ)
1813, 17subcld 10605 . 2 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((2 · ((𝐴 Yrm 𝑁) · 𝐴)) − (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))) ∈ ℂ)
19 rmyp1 38019 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑁 + 1)) = (((𝐴 Yrm 𝑁) · 𝐴) + (𝐴 Xrm 𝑁)))
20 rmym1 38021 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) = (((𝐴 Yrm 𝑁) · 𝐴) − (𝐴 Xrm 𝑁)))
2119, 20oveq12d 6833 . . 3 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Yrm (𝑁 + 1)) + (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))) = ((((𝐴 Yrm 𝑁) · 𝐴) + (𝐴 Xrm 𝑁)) + (((𝐴 Yrm 𝑁) · 𝐴) − (𝐴 Xrm 𝑁))))
22 frmx 37999 . . . . . 6 Xrm :((ℤ‘2) × ℤ)⟶ℕ0
2322fovcl 6932 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℕ0)
2423nn0cnd 11566 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℂ)
2511, 24, 11ppncand 10645 . . 3 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((((𝐴 Yrm 𝑁) · 𝐴) + (𝐴 Xrm 𝑁)) + (((𝐴 Yrm 𝑁) · 𝐴) − (𝐴 Xrm 𝑁))) = (((𝐴 Yrm 𝑁) · 𝐴) + ((𝐴 Yrm 𝑁) · 𝐴)))
2613, 17npcand 10609 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((2 · ((𝐴 Yrm 𝑁) · 𝐴)) − (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))) + (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))) = (2 · ((𝐴 Yrm 𝑁) · 𝐴)))
27112timesd 11488 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2 · ((𝐴 Yrm 𝑁) · 𝐴)) = (((𝐴 Yrm 𝑁) · 𝐴) + ((𝐴 Yrm 𝑁) · 𝐴)))
2826, 27eqtr2d 2796 . . 3 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴 Yrm 𝑁) · 𝐴) + ((𝐴 Yrm 𝑁) · 𝐴)) = (((2 · ((𝐴 Yrm 𝑁) · 𝐴)) − (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))) + (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))))
2921, 25, 283eqtrd 2799 . 2 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Yrm (𝑁 + 1)) + (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))) = (((2 · ((𝐴 Yrm 𝑁) · 𝐴)) − (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))) + (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))))
305, 18, 17, 29addcan2ad 10455 1 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑁 + 1)) = ((2 · ((𝐴 Yrm 𝑁) · 𝐴)) − (𝐴 Yrm (𝑁 − 1))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2140  ‘cfv 6050  (class class class)co 6815  ℂcc 10147  1c1 10150   + caddc 10152   · cmul 10154   − cmin 10479  2c2 11283  ℕ0cn0 11505  ℤcz 11590  ℤ≥cuz 11900   Xrm crmx 37985   Yrm crmy 37986 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-inf2 8714  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226  ax-pre-sup 10227  ax-addf 10228  ax-mulf 10229 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-int 4629  df-iun 4675  df-iin 4676  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-se 5227  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-isom 6059  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-of 7064  df-om 7233  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-supp 7466  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-1o 7731  df-2o 7732  df-oadd 7735  df-omul 7736  df-er 7914  df-map 8028  df-pm 8029  df-ixp 8078  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-fin 8128  df-fsupp 8444  df-fi 8485  df-sup 8516  df-inf 8517  df-oi 8583  df-card 8976  df-acn 8979  df-cda 9203  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-div 10898  df-nn 11234  df-2 11292  df-3 11293  df-4 11294  df-5 11295  df-6 11296  df-7 11297  df-8 11298  df-9 11299  df-n0 11506  df-xnn0 11577  df-z 11591  df-dec 11707  df-uz 11901  df-q 12003  df-rp 12047  df-xneg 12160  df-xadd 12161  df-xmul 12162  df-ioo 12393  df-ioc 12394  df-ico 12395  df-icc 12396  df-fz 12541  df-fzo 12681  df-fl 12808  df-mod 12884  df-seq 13017  df-exp 13076  df-fac 13276  df-bc 13305  df-hash 13333  df-shft 14027  df-cj 14059  df-re 14060  df-im 14061  df-sqrt 14195  df-abs 14196  df-limsup 14422  df-clim 14439  df-rlim 14440  df-sum 14637  df-ef 15018  df-sin 15020  df-cos 15021  df-pi 15023  df-dvds 15204  df-gcd 15440  df-numer 15666  df-denom 15667  df-struct 16082  df-ndx 16083  df-slot 16084  df-base 16086  df-sets 16087  df-ress 16088  df-plusg 16177  df-mulr 16178  df-starv 16179  df-sca 16180  df-vsca 16181  df-ip 16182  df-tset 16183  df-ple 16184  df-ds 16187  df-unif 16188  df-hom 16189  df-cco 16190  df-rest 16306  df-topn 16307  df-0g 16325  df-gsum 16326  df-topgen 16327  df-pt 16328  df-prds 16331  df-xrs 16385  df-qtop 16390  df-imas 16391  df-xps 16393  df-mre 16469  df-mrc 16470  df-acs 16472  df-mgm 17464  df-sgrp 17506  df-mnd 17517  df-submnd 17558  df-mulg 17763  df-cntz 17971  df-cmn 18416  df-psmet 19961  df-xmet 19962  df-met 19963  df-bl 19964  df-mopn 19965  df-fbas 19966  df-fg 19967  df-cnfld 19970  df-top 20922  df-topon 20939  df-topsp 20960  df-bases 20973  df-cld 21046  df-ntr 21047  df-cls 21048  df-nei 21125  df-lp 21163  df-perf 21164  df-cn 21254  df-cnp 21255  df-haus 21342  df-tx 21588  df-hmeo 21781  df-fil 21872  df-fm 21964  df-flim 21965  df-flf 21966  df-xms 22347  df-ms 22348  df-tms 22349  df-cncf 22903  df-limc 23850  df-dv 23851  df-log 24524  df-squarenn 37926  df-pell1qr 37927  df-pell14qr 37928  df-pell1234qr 37929  df-pellfund 37930  df-rmx 37987  df-rmy 37988 This theorem is referenced by:  rmyluc2  38024  jm2.18  38076  jm2.15nn0  38091  jm2.16nn0  38092
 Copyright terms: Public domain W3C validator