Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rmxypos Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rmxypos 38016
 Description: For all nonnegative indices, X is positive and Y is nonnegative. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
rmxypos ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0 < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑁)))

Proof of Theorem rmxypos
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6821 . . . . . 6 (𝑎 = 0 → (𝐴 Xrm 𝑎) = (𝐴 Xrm 0))
21breq2d 4816 . . . . 5 (𝑎 = 0 → (0 < (𝐴 Xrm 𝑎) ↔ 0 < (𝐴 Xrm 0)))
3 oveq2 6821 . . . . . 6 (𝑎 = 0 → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm 0))
43breq2d 4816 . . . . 5 (𝑎 = 0 → (0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑎) ↔ 0 ≤ (𝐴 Yrm 0)))
52, 4anbi12d 749 . . . 4 (𝑎 = 0 → ((0 < (𝐴 Xrm 𝑎) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑎)) ↔ (0 < (𝐴 Xrm 0) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 0))))
65imbi2d 329 . . 3 (𝑎 = 0 → ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (0 < (𝐴 Xrm 𝑎) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑎))) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (0 < (𝐴 Xrm 0) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 0)))))
7 oveq2 6821 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑏 → (𝐴 Xrm 𝑎) = (𝐴 Xrm 𝑏))
87breq2d 4816 . . . . 5 (𝑎 = 𝑏 → (0 < (𝐴 Xrm 𝑎) ↔ 0 < (𝐴 Xrm 𝑏)))
9 oveq2 6821 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑏 → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm 𝑏))
109breq2d 4816 . . . . 5 (𝑎 = 𝑏 → (0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑎) ↔ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏)))
118, 10anbi12d 749 . . . 4 (𝑎 = 𝑏 → ((0 < (𝐴 Xrm 𝑎) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑎)) ↔ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))))
1211imbi2d 329 . . 3 (𝑎 = 𝑏 → ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (0 < (𝐴 Xrm 𝑎) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑎))) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏)))))
13 oveq2 6821 . . . . . 6 (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝐴 Xrm 𝑎) = (𝐴 Xrm (𝑏 + 1)))
1413breq2d 4816 . . . . 5 (𝑎 = (𝑏 + 1) → (0 < (𝐴 Xrm 𝑎) ↔ 0 < (𝐴 Xrm (𝑏 + 1))))
15 oveq2 6821 . . . . . 6 (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))
1615breq2d 4816 . . . . 5 (𝑎 = (𝑏 + 1) → (0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑎) ↔ 0 ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))))
1714, 16anbi12d 749 . . . 4 (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((0 < (𝐴 Xrm 𝑎) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑎)) ↔ (0 < (𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))))
1817imbi2d 329 . . 3 (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (0 < (𝐴 Xrm 𝑎) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑎))) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (0 < (𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))))))
19 oveq2 6821 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑁 → (𝐴 Xrm 𝑎) = (𝐴 Xrm 𝑁))
2019breq2d 4816 . . . . 5 (𝑎 = 𝑁 → (0 < (𝐴 Xrm 𝑎) ↔ 0 < (𝐴 Xrm 𝑁)))
21 oveq2 6821 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑁 → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm 𝑁))
2221breq2d 4816 . . . . 5 (𝑎 = 𝑁 → (0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑎) ↔ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑁)))
2320, 22anbi12d 749 . . . 4 (𝑎 = 𝑁 → ((0 < (𝐴 Xrm 𝑎) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑎)) ↔ (0 < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑁))))
2423imbi2d 329 . . 3 (𝑎 = 𝑁 → ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (0 < (𝐴 Xrm 𝑎) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑎))) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (0 < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑁)))))
25 0lt1 10742 . . . . 5 0 < 1
26 rmx0 37992 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 Xrm 0) = 1)
2725, 26syl5breqr 4842 . . . 4 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 0 < (𝐴 Xrm 0))
28 0le0 11302 . . . . 5 0 ≤ 0
29 rmy0 37996 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 Yrm 0) = 0)
3028, 29syl5breqr 4842 . . . 4 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 0 ≤ (𝐴 Yrm 0))
3127, 30jca 555 . . 3 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (0 < (𝐴 Xrm 0) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 0)))
32 simp2 1132 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))) → 𝐴 ∈ (ℤ‘2))
33 nn0z 11592 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)
34333ad2ant1 1128 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))) → 𝑏 ∈ ℤ)
35 frmx 37980 . . . . . . . . . . . 12 Xrm :((ℤ‘2) × ℤ)⟶ℕ0
3635fovcl 6930 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑏) ∈ ℕ0)
3732, 34, 36syl2anc 696 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))) → (𝐴 Xrm 𝑏) ∈ ℕ0)
3837nn0red 11544 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))) → (𝐴 Xrm 𝑏) ∈ ℝ)
39 eluzelre 11890 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℝ)
40393ad2ant2 1129 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))) → 𝐴 ∈ ℝ)
4138, 40remulcld 10262 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))) → ((𝐴 Xrm 𝑏) · 𝐴) ∈ ℝ)
42 rmspecpos 37983 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℝ+)
4342rpred 12065 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℝ)
44433ad2ant2 1129 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℝ)
45 frmy 37981 . . . . . . . . . . . 12 Yrm :((ℤ‘2) × ℤ)⟶ℤ
4645fovcl 6930 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℤ)
4732, 34, 46syl2anc 696 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))) → (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℤ)
4847zred 11674 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))) → (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℝ)
4944, 48remulcld 10262 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))) → (((𝐴↑2) − 1) · (𝐴 Yrm 𝑏)) ∈ ℝ)
50 simp3l 1244 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))) → 0 < (𝐴 Xrm 𝑏))
51 eluz2nn 11919 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)
5251nngt0d 11256 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 0 < 𝐴)
53523ad2ant2 1129 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))) → 0 < 𝐴)
5438, 40, 50, 53mulgt0d 10384 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))) → 0 < ((𝐴 Xrm 𝑏) · 𝐴))
5542rpge0d 12069 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 0 ≤ ((𝐴↑2) − 1))
56553ad2ant2 1129 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))) → 0 ≤ ((𝐴↑2) − 1))
57 simp3r 1245 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))) → 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))
5844, 48, 56, 57mulge0d 10796 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))) → 0 ≤ (((𝐴↑2) − 1) · (𝐴 Yrm 𝑏)))
59 addgtge0 10708 . . . . . . . 8 (((((𝐴 Xrm 𝑏) · 𝐴) ∈ ℝ ∧ (((𝐴↑2) − 1) · (𝐴 Yrm 𝑏)) ∈ ℝ) ∧ (0 < ((𝐴 Xrm 𝑏) · 𝐴) ∧ 0 ≤ (((𝐴↑2) − 1) · (𝐴 Yrm 𝑏)))) → 0 < (((𝐴 Xrm 𝑏) · 𝐴) + (((𝐴↑2) − 1) · (𝐴 Yrm 𝑏))))
6041, 49, 54, 58, 59syl22anc 1478 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))) → 0 < (((𝐴 Xrm 𝑏) · 𝐴) + (((𝐴↑2) − 1) · (𝐴 Yrm 𝑏))))
61 rmxp1 37999 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) = (((𝐴 Xrm 𝑏) · 𝐴) + (((𝐴↑2) − 1) · (𝐴 Yrm 𝑏))))
6232, 34, 61syl2anc 696 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))) → (𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) = (((𝐴 Xrm 𝑏) · 𝐴) + (((𝐴↑2) − 1) · (𝐴 Yrm 𝑏))))
6360, 62breqtrrd 4832 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))) → 0 < (𝐴 Xrm (𝑏 + 1)))
6448, 40remulcld 10262 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))) → ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴) ∈ ℝ)
65 eluzge2nn0 11920 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℕ0)
6665nn0ge0d 11546 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 0 ≤ 𝐴)
67663ad2ant2 1129 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))) → 0 ≤ 𝐴)
6848, 40, 57, 67mulge0d 10796 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))) → 0 ≤ ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴))
6937nn0ge0d 11546 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))) → 0 ≤ (𝐴 Xrm 𝑏))
7064, 38, 68, 69addge0d 10795 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))) → 0 ≤ (((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴) + (𝐴 Xrm 𝑏)))
71 rmyp1 38000 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) = (((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴) + (𝐴 Xrm 𝑏)))
7232, 34, 71syl2anc 696 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))) → (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) = (((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴) + (𝐴 Xrm 𝑏)))
7370, 72breqtrrd 4832 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))) → 0 ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))
7463, 73jca 555 . . . . 5 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))) → (0 < (𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))))
75743exp 1113 . . . 4 (𝑏 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏)) → (0 < (𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))))))
7675a2d 29 . . 3 (𝑏 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))) → (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (0 < (𝐴 Xrm (𝑏 + 1)) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))))))
776, 12, 18, 24, 31, 76nn0ind 11664 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (0 < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑁))))
7877impcom 445 1 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0 < (𝐴 Xrm 𝑁) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑁)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   class class class wbr 4804  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  ℝcr 10127  0cc0 10128  1c1 10129   + caddc 10131   · cmul 10133   < clt 10266   ≤ cle 10267   − cmin 10458  2c2 11262  ℕ0cn0 11484  ℤcz 11569  ℤ≥cuz 11879  ↑cexp 13054   Xrm crmx 37966   Yrm crmy 37967 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206  ax-addf 10207  ax-mulf 10208 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-supp 7464  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-omul 7734  df-er 7911  df-map 8025  df-pm 8026  df-ixp 8075  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fsupp 8441  df-fi 8482  df-sup 8513  df-inf 8514  df-oi 8580  df-card 8955  df-acn 8958  df-cda 9182  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-xnn0 11556  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-q 11982  df-rp 12026  df-xneg 12139  df-xadd 12140  df-xmul 12141  df-ioo 12372  df-ioc 12373  df-ico 12374  df-icc 12375  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-fl 12787  df-mod 12863  df-seq 12996  df-exp 13055  df-fac 13255  df-bc 13284  df-hash 13312  df-shft 14006  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-limsup 14401  df-clim 14418  df-rlim 14419  df-sum 14616  df-ef 14997  df-sin 14999  df-cos 15000  df-pi 15002  df-dvds 15183  df-gcd 15419  df-numer 15645  df-denom 15646  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-starv 16158  df-sca 16159  df-vsca 16160  df-ip 16161  df-tset 16162  df-ple 16163  df-ds 16166  df-unif 16167  df-hom 16168  df-cco 16169  df-rest 16285  df-topn 16286  df-0g 16304  df-gsum 16305  df-topgen 16306  df-pt 16307  df-prds 16310  df-xrs 16364  df-qtop 16369  df-imas 16370  df-xps 16372  df-mre 16448  df-mrc 16449  df-acs 16451  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-submnd 17537  df-mulg 17742  df-cntz 17950  df-cmn 18395  df-psmet 19940  df-xmet 19941  df-met 19942  df-bl 19943  df-mopn 19944  df-fbas 19945  df-fg 19946  df-cnfld 19949  df-top 20901  df-topon 20918  df-topsp 20939  df-bases 20952  df-cld 21025  df-ntr 21026  df-cls 21027  df-nei 21104  df-lp 21142  df-perf 21143  df-cn 21233  df-cnp 21234  df-haus 21321  df-tx 21567  df-hmeo 21760  df-fil 21851  df-fm 21943  df-flim 21944  df-flf 21945  df-xms 22326  df-ms 22327  df-tms 22328  df-cncf 22882  df-limc 23829  df-dv 23830  df-log 24502  df-squarenn 37907  df-pell1qr 37908  df-pell14qr 37909  df-pell1234qr 37910  df-pellfund 37911  df-rmx 37968  df-rmy 37969 This theorem is referenced by:  ltrmynn0  38017  ltrmxnn0  38018  rmxnn  38020  rmynn0  38026  rmyabs  38027  jm2.24nn  38028  jm2.17b  38030
 Copyright terms: Public domain W3C validator