Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rmsuppss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rmsuppss 42676
Description: The support of a mapping of a multiplication of a constant with a function into a ring is a subset of the support of the function. (Contributed by AV, 11-Apr-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
rmsuppss.r 𝑅 = (Base‘𝑀)
Assertion
Ref Expression
rmsuppss (((𝑀 ∈ Ring ∧ 𝑉𝑋𝐶𝑅) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉)) → ((𝑣𝑉 ↦ (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑣))) supp (0g𝑀)) ⊆ (𝐴 supp (0g𝑀)))
Distinct variable groups:   𝑣,𝐴   𝑣,𝐶   𝑣,𝑀   𝑣,𝑅   𝑣,𝑋   𝑣,𝑉

Proof of Theorem rmsuppss
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6799 . . . . . . 7 ((𝐴𝑤) = (0g𝑀) → (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑤)) = (𝐶(.r𝑀)(0g𝑀)))
2 simpll1 1252 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ Ring ∧ 𝑉𝑋𝐶𝑅) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉)) ∧ 𝑤𝑉) → 𝑀 ∈ Ring)
3 simpll3 1256 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ Ring ∧ 𝑉𝑋𝐶𝑅) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉)) ∧ 𝑤𝑉) → 𝐶𝑅)
4 rmsuppss.r . . . . . . . . 9 𝑅 = (Base‘𝑀)
5 eqid 2769 . . . . . . . . 9 (.r𝑀) = (.r𝑀)
6 eqid 2769 . . . . . . . . 9 (0g𝑀) = (0g𝑀)
74, 5, 6ringrz 18802 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ Ring ∧ 𝐶𝑅) → (𝐶(.r𝑀)(0g𝑀)) = (0g𝑀))
82, 3, 7syl2anc 693 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ Ring ∧ 𝑉𝑋𝐶𝑅) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉)) ∧ 𝑤𝑉) → (𝐶(.r𝑀)(0g𝑀)) = (0g𝑀))
91, 8sylan9eqr 2825 . . . . . 6 (((((𝑀 ∈ Ring ∧ 𝑉𝑋𝐶𝑅) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉)) ∧ 𝑤𝑉) ∧ (𝐴𝑤) = (0g𝑀)) → (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑤)) = (0g𝑀))
109ex 448 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ Ring ∧ 𝑉𝑋𝐶𝑅) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉)) ∧ 𝑤𝑉) → ((𝐴𝑤) = (0g𝑀) → (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑤)) = (0g𝑀)))
1110necon3d 2962 . . . 4 ((((𝑀 ∈ Ring ∧ 𝑉𝑋𝐶𝑅) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉)) ∧ 𝑤𝑉) → ((𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑤)) ≠ (0g𝑀) → (𝐴𝑤) ≠ (0g𝑀)))
1211ss2rabdv 3829 . . 3 (((𝑀 ∈ Ring ∧ 𝑉𝑋𝐶𝑅) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉)) → {𝑤𝑉 ∣ (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑤)) ≠ (0g𝑀)} ⊆ {𝑤𝑉 ∣ (𝐴𝑤) ≠ (0g𝑀)})
13 elmapi 8029 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) → 𝐴:𝑉𝑅)
14 fdm 6190 . . . . . 6 (𝐴:𝑉𝑅 → dom 𝐴 = 𝑉)
1513, 14syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) → dom 𝐴 = 𝑉)
1615adantl 474 . . . 4 (((𝑀 ∈ Ring ∧ 𝑉𝑋𝐶𝑅) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉)) → dom 𝐴 = 𝑉)
17 rabeq 3340 . . . 4 (dom 𝐴 = 𝑉 → {𝑤 ∈ dom 𝐴 ∣ (𝐴𝑤) ≠ (0g𝑀)} = {𝑤𝑉 ∣ (𝐴𝑤) ≠ (0g𝑀)})
1816, 17syl 17 . . 3 (((𝑀 ∈ Ring ∧ 𝑉𝑋𝐶𝑅) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉)) → {𝑤 ∈ dom 𝐴 ∣ (𝐴𝑤) ≠ (0g𝑀)} = {𝑤𝑉 ∣ (𝐴𝑤) ≠ (0g𝑀)})
1912, 18sseqtr4d 3788 . 2 (((𝑀 ∈ Ring ∧ 𝑉𝑋𝐶𝑅) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉)) → {𝑤𝑉 ∣ (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑤)) ≠ (0g𝑀)} ⊆ {𝑤 ∈ dom 𝐴 ∣ (𝐴𝑤) ≠ (0g𝑀)})
20 fveq2 6331 . . . . 5 (𝑣 = 𝑤 → (𝐴𝑣) = (𝐴𝑤))
2120oveq2d 6807 . . . 4 (𝑣 = 𝑤 → (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑣)) = (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑤)))
2221cbvmptv 4881 . . 3 (𝑣𝑉 ↦ (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑣))) = (𝑤𝑉 ↦ (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑤)))
23 simpl2 1227 . . 3 (((𝑀 ∈ Ring ∧ 𝑉𝑋𝐶𝑅) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉)) → 𝑉𝑋)
24 fvexd 6343 . . 3 (((𝑀 ∈ Ring ∧ 𝑉𝑋𝐶𝑅) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉)) → (0g𝑀) ∈ V)
25 ovexd 6823 . . 3 ((((𝑀 ∈ Ring ∧ 𝑉𝑋𝐶𝑅) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉)) ∧ 𝑤𝑉) → (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑤)) ∈ V)
2622, 23, 24, 25mptsuppd 7467 . 2 (((𝑀 ∈ Ring ∧ 𝑉𝑋𝐶𝑅) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉)) → ((𝑣𝑉 ↦ (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑣))) supp (0g𝑀)) = {𝑤𝑉 ∣ (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑤)) ≠ (0g𝑀)})
27 elmapfun 8031 . . . 4 (𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) → Fun 𝐴)
2827adantl 474 . . 3 (((𝑀 ∈ Ring ∧ 𝑉𝑋𝐶𝑅) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉)) → Fun 𝐴)
29 simpr 480 . . 3 (((𝑀 ∈ Ring ∧ 𝑉𝑋𝐶𝑅) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉)) → 𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉))
30 suppval1 7450 . . 3 ((Fun 𝐴𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) ∧ (0g𝑀) ∈ V) → (𝐴 supp (0g𝑀)) = {𝑤 ∈ dom 𝐴 ∣ (𝐴𝑤) ≠ (0g𝑀)})
3128, 29, 24, 30syl3anc 1474 . 2 (((𝑀 ∈ Ring ∧ 𝑉𝑋𝐶𝑅) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉)) → (𝐴 supp (0g𝑀)) = {𝑤 ∈ dom 𝐴 ∣ (𝐴𝑤) ≠ (0g𝑀)})
3219, 26, 313sstr4d 3794 1 (((𝑀 ∈ Ring ∧ 𝑉𝑋𝐶𝑅) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉)) → ((𝑣𝑉 ↦ (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑣))) supp (0g𝑀)) ⊆ (𝐴 supp (0g𝑀)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1069   = wceq 1629  wcel 2143  wne 2941  {crab 3063  Vcvv 3348  wss 3720  cmpt 4860  dom cdm 5248  Fun wfun 6024  wf 6026  cfv 6030  (class class class)co 6791   supp csupp 7444  𝑚 cmap 8007  Basecbs 16070  .rcmulr 16156  0gc0g 16314  Ringcrg 18761
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1868  ax-4 1883  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2145  ax-9 2152  ax-10 2172  ax-11 2188  ax-12 2201  ax-13 2406  ax-ext 2749  ax-rep 4901  ax-sep 4911  ax-nul 4919  ax-pow 4970  ax-pr 5033  ax-un 7094  ax-cnex 10192  ax-resscn 10193  ax-1cn 10194  ax-icn 10195  ax-addcl 10196  ax-addrcl 10197  ax-mulcl 10198  ax-mulrcl 10199  ax-mulcom 10200  ax-addass 10201  ax-mulass 10202  ax-distr 10203  ax-i2m1 10204  ax-1ne0 10205  ax-1rid 10206  ax-rnegex 10207  ax-rrecex 10208  ax-cnre 10209  ax-pre-lttri 10210  ax-pre-lttrn 10211  ax-pre-ltadd 10212  ax-pre-mulgt0 10213
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1632  df-ex 1851  df-nf 1856  df-sb 2048  df-eu 2620  df-mo 2621  df-clab 2756  df-cleq 2762  df-clel 2765  df-nfc 2900  df-ne 2942  df-nel 3045  df-ral 3064  df-rex 3065  df-reu 3066  df-rmo 3067  df-rab 3068  df-v 3350  df-sbc 3585  df-csb 3680  df-dif 3723  df-un 3725  df-in 3727  df-ss 3734  df-pss 3736  df-nul 4061  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4572  df-iun 4653  df-br 4784  df-opab 4844  df-mpt 4861  df-tr 4884  df-id 5156  df-eprel 5161  df-po 5169  df-so 5170  df-fr 5207  df-we 5209  df-xp 5254  df-rel 5255  df-cnv 5256  df-co 5257  df-dm 5258  df-rn 5259  df-res 5260  df-ima 5261  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6752  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-om 7211  df-1st 7313  df-2nd 7314  df-supp 7445  df-wrecs 7557  df-recs 7619  df-rdg 7657  df-er 7894  df-map 8009  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-pnf 10276  df-mnf 10277  df-xr 10278  df-ltxr 10279  df-le 10280  df-sub 10468  df-neg 10469  df-nn 11221  df-2 11279  df-ndx 16073  df-slot 16074  df-base 16076  df-sets 16077  df-plusg 16168  df-0g 16316  df-mgm 17456  df-sgrp 17498  df-mnd 17509  df-grp 17639  df-mgp 18704  df-ring 18763
This theorem is referenced by:  rmsuppfi  42679
  Copyright terms: Public domain W3C validator