Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rmsupp0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rmsupp0 42667
Description: The support of a mapping of a multiplication of zero with a function into a ring is empty. (Contributed by AV, 10-Apr-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
rmsuppss.r 𝑅 = (Base‘𝑀)
Assertion
Ref Expression
rmsupp0 (((𝑀 ∈ Ring ∧ 𝑉𝑋𝐶 = (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉)) → ((𝑣𝑉 ↦ (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑣))) supp (0g𝑀)) = ∅)
Distinct variable groups:   𝑣,𝐴   𝑣,𝐶   𝑣,𝑀   𝑣,𝑅   𝑣,𝑋   𝑣,𝑉

Proof of Theorem rmsupp0
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6332 . . . . 5 (𝑣 = 𝑤 → (𝐴𝑣) = (𝐴𝑤))
21oveq2d 6808 . . . 4 (𝑣 = 𝑤 → (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑣)) = (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑤)))
32cbvmptv 4882 . . 3 (𝑣𝑉 ↦ (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑣))) = (𝑤𝑉 ↦ (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑤)))
4 simpl2 1228 . . 3 (((𝑀 ∈ Ring ∧ 𝑉𝑋𝐶 = (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉)) → 𝑉𝑋)
5 fvexd 6344 . . 3 (((𝑀 ∈ Ring ∧ 𝑉𝑋𝐶 = (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉)) → (0g𝑀) ∈ V)
6 ovexd 6824 . . 3 ((((𝑀 ∈ Ring ∧ 𝑉𝑋𝐶 = (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉)) ∧ 𝑤𝑉) → (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑤)) ∈ V)
73, 4, 5, 6mptsuppd 7468 . 2 (((𝑀 ∈ Ring ∧ 𝑉𝑋𝐶 = (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉)) → ((𝑣𝑉 ↦ (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑣))) supp (0g𝑀)) = {𝑤𝑉 ∣ (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑤)) ≠ (0g𝑀)})
8 simpll3 1257 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ Ring ∧ 𝑉𝑋𝐶 = (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉)) ∧ 𝑤𝑉) → 𝐶 = (0g𝑀))
98oveq1d 6807 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ Ring ∧ 𝑉𝑋𝐶 = (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉)) ∧ 𝑤𝑉) → (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑤)) = ((0g𝑀)(.r𝑀)(𝐴𝑤)))
10 simpll1 1253 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ Ring ∧ 𝑉𝑋𝐶 = (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉)) ∧ 𝑤𝑉) → 𝑀 ∈ Ring)
11 elmapi 8030 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) → 𝐴:𝑉𝑅)
12 ffvelrn 6500 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴:𝑉𝑅𝑤𝑉) → (𝐴𝑤) ∈ 𝑅)
13 rmsuppss.r . . . . . . . . . . 11 𝑅 = (Base‘𝑀)
1412, 13syl6eleq 2859 . . . . . . . . . 10 ((𝐴:𝑉𝑅𝑤𝑉) → (𝐴𝑤) ∈ (Base‘𝑀))
1514ex 397 . . . . . . . . 9 (𝐴:𝑉𝑅 → (𝑤𝑉 → (𝐴𝑤) ∈ (Base‘𝑀)))
1611, 15syl 17 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉) → (𝑤𝑉 → (𝐴𝑤) ∈ (Base‘𝑀)))
1716adantl 467 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ Ring ∧ 𝑉𝑋𝐶 = (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉)) → (𝑤𝑉 → (𝐴𝑤) ∈ (Base‘𝑀)))
1817imp 393 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ Ring ∧ 𝑉𝑋𝐶 = (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉)) ∧ 𝑤𝑉) → (𝐴𝑤) ∈ (Base‘𝑀))
19 eqid 2770 . . . . . . 7 (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
20 eqid 2770 . . . . . . 7 (.r𝑀) = (.r𝑀)
21 eqid 2770 . . . . . . 7 (0g𝑀) = (0g𝑀)
2219, 20, 21ringlz 18794 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ Ring ∧ (𝐴𝑤) ∈ (Base‘𝑀)) → ((0g𝑀)(.r𝑀)(𝐴𝑤)) = (0g𝑀))
2310, 18, 22syl2anc 565 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ Ring ∧ 𝑉𝑋𝐶 = (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉)) ∧ 𝑤𝑉) → ((0g𝑀)(.r𝑀)(𝐴𝑤)) = (0g𝑀))
249, 23eqtrd 2804 . . . 4 ((((𝑀 ∈ Ring ∧ 𝑉𝑋𝐶 = (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉)) ∧ 𝑤𝑉) → (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑤)) = (0g𝑀))
2524neeq1d 3001 . . 3 ((((𝑀 ∈ Ring ∧ 𝑉𝑋𝐶 = (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉)) ∧ 𝑤𝑉) → ((𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑤)) ≠ (0g𝑀) ↔ (0g𝑀) ≠ (0g𝑀)))
2625rabbidva 3337 . 2 (((𝑀 ∈ Ring ∧ 𝑉𝑋𝐶 = (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉)) → {𝑤𝑉 ∣ (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑤)) ≠ (0g𝑀)} = {𝑤𝑉 ∣ (0g𝑀) ≠ (0g𝑀)})
27 neirr 2951 . . . . 5 ¬ (0g𝑀) ≠ (0g𝑀)
2827a1i 11 . . . 4 (((𝑀 ∈ Ring ∧ 𝑉𝑋𝐶 = (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉)) → ¬ (0g𝑀) ≠ (0g𝑀))
2928ralrimivw 3115 . . 3 (((𝑀 ∈ Ring ∧ 𝑉𝑋𝐶 = (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉)) → ∀𝑤𝑉 ¬ (0g𝑀) ≠ (0g𝑀))
30 rabeq0 4101 . . 3 ({𝑤𝑉 ∣ (0g𝑀) ≠ (0g𝑀)} = ∅ ↔ ∀𝑤𝑉 ¬ (0g𝑀) ≠ (0g𝑀))
3129, 30sylibr 224 . 2 (((𝑀 ∈ Ring ∧ 𝑉𝑋𝐶 = (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉)) → {𝑤𝑉 ∣ (0g𝑀) ≠ (0g𝑀)} = ∅)
327, 26, 313eqtrd 2808 1 (((𝑀 ∈ Ring ∧ 𝑉𝑋𝐶 = (0g𝑀)) ∧ 𝐴 ∈ (𝑅𝑚 𝑉)) → ((𝑣𝑉 ↦ (𝐶(.r𝑀)(𝐴𝑣))) supp (0g𝑀)) = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382  w3a 1070   = wceq 1630  wcel 2144  wne 2942  wral 3060  {crab 3064  Vcvv 3349  c0 4061  cmpt 4861  wf 6027  cfv 6031  (class class class)co 6792   supp csupp 7445  𝑚 cmap 8008  Basecbs 16063  .rcmulr 16149  0gc0g 16307  Ringcrg 18754
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-supp 7446  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-er 7895  df-map 8010  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-2 11280  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-sets 16070  df-plusg 16161  df-0g 16309  df-mgm 17449  df-sgrp 17491  df-mnd 17502  df-grp 17632  df-minusg 17633  df-mgp 18697  df-ring 18756
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator