Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rmspecsqrtnqOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rmspecsqrtnqOLD 37973
Description: Obsolete version of rmspecsqrtnq 37972 as of 2-Aug-2021. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Sep-2014.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
rmspecsqrtnqOLD (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ (ℂ ∖ ℚ))

Proof of Theorem rmspecsqrtnqOLD
StepHypRef Expression
1 eluzelcn 11891 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℂ)
21sqcld 13200 . . . 4 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
3 ax-1cn 10186 . . . 4 1 ∈ ℂ
4 subcl 10472 . . . 4 (((𝐴↑2) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℂ)
52, 3, 4sylancl 697 . . 3 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℂ)
65sqrtcld 14375 . 2 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℂ)
7 eluz2nn 11919 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)
87nnsqcld 13223 . . . 4 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴↑2) ∈ ℕ)
9 nnm1nn0 11526 . . . 4 ((𝐴↑2) ∈ ℕ → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℕ0)
108, 9syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℕ0)
11 nnm1nn0 11526 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 − 1) ∈ ℕ0)
127, 11syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 − 1) ∈ ℕ0)
13 binom2sub 13175 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 1)↑2) = (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 1))) + (1↑2)))
141, 3, 13sylancl 697 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴 − 1)↑2) = (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 1))) + (1↑2)))
15 2re 11282 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
16 eluzelre 11890 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℝ)
17 1re 10231 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
18 remulcl 10213 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐴 · 1) ∈ ℝ)
1916, 17, 18sylancl 697 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 · 1) ∈ ℝ)
20 remulcl 10213 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 1) ∈ ℝ) → (2 · (𝐴 · 1)) ∈ ℝ)
2115, 19, 20sylancr 698 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (2 · (𝐴 · 1)) ∈ ℝ)
2221recnd 10260 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (2 · (𝐴 · 1)) ∈ ℂ)
2317resqcli 13143 . . . . . . . 8 (1↑2) ∈ ℝ
2423recni 10244 . . . . . . 7 (1↑2) ∈ ℂ
2524a1i 11 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (1↑2) ∈ ℂ)
262, 22, 25subsubd 10612 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴↑2) − ((2 · (𝐴 · 1)) − (1↑2))) = (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 1))) + (1↑2)))
2714, 26eqtr4d 2797 . . . 4 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴 − 1)↑2) = ((𝐴↑2) − ((2 · (𝐴 · 1)) − (1↑2))))
2817a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 1 ∈ ℝ)
29 resubcl 10537 . . . . . 6 (((2 · (𝐴 · 1)) ∈ ℝ ∧ (1↑2) ∈ ℝ) → ((2 · (𝐴 · 1)) − (1↑2)) ∈ ℝ)
3021, 23, 29sylancl 697 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((2 · (𝐴 · 1)) − (1↑2)) ∈ ℝ)
318nnred 11227 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
3232timesi 11339 . . . . . . . 8 (2 · 1) = (1 + 1)
33 eluz2b2 11954 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝐴 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴))
3433simprbi 483 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 1 < 𝐴)
3515a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 2 ∈ ℝ)
36 2pos 11304 . . . . . . . . . . 11 0 < 2
3736a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 0 < 2)
38 ltmul2 11066 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (1 < 𝐴 ↔ (2 · 1) < (2 · 𝐴)))
3928, 16, 35, 37, 38syl112anc 1481 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (1 < 𝐴 ↔ (2 · 1) < (2 · 𝐴)))
4034, 39mpbid 222 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (2 · 1) < (2 · 𝐴))
4132, 40syl5eqbrr 4840 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (1 + 1) < (2 · 𝐴))
42 remulcl 10213 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
4315, 16, 42sylancr 698 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
4428, 28, 43ltaddsubd 10819 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((1 + 1) < (2 · 𝐴) ↔ 1 < ((2 · 𝐴) − 1)))
4541, 44mpbid 222 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 1 < ((2 · 𝐴) − 1))
461mulid1d 10249 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 · 1) = 𝐴)
4746oveq2d 6829 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (2 · (𝐴 · 1)) = (2 · 𝐴))
48 sq1 13152 . . . . . . . 8 (1↑2) = 1
4948a1i 11 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (1↑2) = 1)
5047, 49oveq12d 6831 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((2 · (𝐴 · 1)) − (1↑2)) = ((2 · 𝐴) − 1))
5145, 50breqtrrd 4832 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 1 < ((2 · (𝐴 · 1)) − (1↑2)))
5228, 30, 31, 51ltsub2dd 10832 . . . 4 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴↑2) − ((2 · (𝐴 · 1)) − (1↑2))) < ((𝐴↑2) − 1))
5327, 52eqbrtrd 4826 . . 3 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴 − 1)↑2) < ((𝐴↑2) − 1))
5431ltm1d 11148 . . . 4 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴↑2) − 1) < (𝐴↑2))
55 npcan 10482 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)
561, 3, 55sylancl 697 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)
5756oveq1d 6828 . . . 4 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (((𝐴 − 1) + 1)↑2) = (𝐴↑2))
5854, 57breqtrrd 4832 . . 3 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴↑2) − 1) < (((𝐴 − 1) + 1)↑2))
59 nonsq 15669 . . 3 (((((𝐴↑2) − 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 − 1) ∈ ℕ0) ∧ (((𝐴 − 1)↑2) < ((𝐴↑2) − 1) ∧ ((𝐴↑2) − 1) < (((𝐴 − 1) + 1)↑2))) → ¬ (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℚ)
6010, 12, 53, 58, 59syl22anc 1478 . 2 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ¬ (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℚ)
616, 60eldifd 3726 1 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ (ℂ ∖ ℚ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196   = wceq 1632  wcel 2139  cdif 3712   class class class wbr 4804  cfv 6049  (class class class)co 6813  cc 10126  cr 10127  0cc0 10128  1c1 10129   + caddc 10131   · cmul 10133   < clt 10266  cmin 10458  cn 11212  2c2 11262  0cn0 11484  cuz 11879  cq 11981  cexp 13054  csqrt 14172
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-sup 8513  df-inf 8514  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-q 11982  df-rp 12026  df-fl 12787  df-mod 12863  df-seq 12996  df-exp 13055  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-dvds 15183  df-gcd 15419  df-numer 15645  df-denom 15646
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator