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Theorem rmspecfund 37893
Description: The base of exponent used to define the X and Y sequences is the fundamental solution of the corresponding Pell equation. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
rmspecfund (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (PellFund‘((𝐴↑2) − 1)) = (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))))

Proof of Theorem rmspecfund
StepHypRef Expression
1 rmspecnonsq 37891 . . 3 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ (ℕ ∖ ◻NN))
2 eluzelz 11810 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℤ)
3 zsqcl 13049 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
42, 3syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
54zred 11595 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
6 1red 10168 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 1 ∈ ℝ)
75, 6resubcld 10571 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℝ)
8 sq1 13073 . . . . . . . . . . . . 13 (1↑2) = 1
98a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (1↑2) = 1)
10 eluz2b2 11875 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝐴 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝐴))
1110simprbi 483 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 1 < 𝐴)
12 eluzelre 11811 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℝ)
13 0le1 10664 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ≤ 1
1413a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 0 ≤ 1)
15 eluzge2nn0 11841 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℕ0)
1615nn0ge0d 11467 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 0 ≤ 𝐴)
176, 12, 14, 16lt2sqd 13158 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (1 < 𝐴 ↔ (1↑2) < (𝐴↑2)))
1811, 17mpbid 222 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (1↑2) < (𝐴↑2))
199, 18eqbrtrrd 4784 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 1 < (𝐴↑2))
206, 5posdifd 10727 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (1 < (𝐴↑2) ↔ 0 < ((𝐴↑2) − 1)))
2119, 20mpbid 222 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 0 < ((𝐴↑2) − 1))
227, 21elrpd 11983 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℝ+)
2322rpsqrtcld 14270 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℝ+)
2423rpred 11986 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℝ)
2524recnd 10181 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (√‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℂ)
2625mulid1d 10170 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 1) = (√‘((𝐴↑2) − 1)))
2726oveq2d 6781 . . . 4 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 1)) = (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))))
28 pell1qrss14 37851 . . . . . 6 (((𝐴↑2) − 1) ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (Pell1QR‘((𝐴↑2) − 1)) ⊆ (Pell14QR‘((𝐴↑2) − 1)))
291, 28syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (Pell1QR‘((𝐴↑2) − 1)) ⊆ (Pell14QR‘((𝐴↑2) − 1)))
30 1nn0 11421 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ0
3130a1i 11 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 1 ∈ ℕ0)
328oveq2i 6776 . . . . . . . . 9 (((𝐴↑2) − 1) · (1↑2)) = (((𝐴↑2) − 1) · 1)
337recnd 10181 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℂ)
3433mulid1d 10170 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (((𝐴↑2) − 1) · 1) = ((𝐴↑2) − 1))
3532, 34syl5eq 2770 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (((𝐴↑2) − 1) · (1↑2)) = ((𝐴↑2) − 1))
3635oveq2d 6781 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (1↑2))) = ((𝐴↑2) − ((𝐴↑2) − 1)))
375recnd 10181 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
38 1cnd 10169 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 1 ∈ ℂ)
3937, 38nncand 10510 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴↑2) − ((𝐴↑2) − 1)) = 1)
4036, 39eqtrd 2758 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (1↑2))) = 1)
41 pellqrexplicit 37860 . . . . . 6 (((((𝐴↑2) − 1) ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ 𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) ∧ ((𝐴↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (1↑2))) = 1) → (𝐴 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 1)) ∈ (Pell1QR‘((𝐴↑2) − 1)))
421, 15, 31, 40, 41syl31anc 1442 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 1)) ∈ (Pell1QR‘((𝐴↑2) − 1)))
4329, 42sseldd 3710 . . . 4 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 + ((√‘((𝐴↑2) − 1)) · 1)) ∈ (Pell14QR‘((𝐴↑2) − 1)))
4427, 43eqeltrrd 2804 . . 3 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ∈ (Pell14QR‘((𝐴↑2) − 1)))
456, 24readdcld 10182 . . . 4 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (1 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ∈ ℝ)
4612, 24readdcld 10182 . . . 4 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ∈ ℝ)
476, 23ltaddrpd 12019 . . . 4 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 1 < (1 + (√‘((𝐴↑2) − 1))))
486, 12, 24, 11ltadd1dd 10751 . . . 4 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (1 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) < (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))))
496, 45, 46, 47, 48lttrd 10311 . . 3 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 1 < (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))))
50 pellfundlb 37867 . . 3 ((((𝐴↑2) − 1) ∈ (ℕ ∖ ◻NN) ∧ (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ∈ (Pell14QR‘((𝐴↑2) − 1)) ∧ 1 < (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1)))) → (PellFund‘((𝐴↑2) − 1)) ≤ (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))))
511, 44, 49, 50syl3anc 1439 . 2 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (PellFund‘((𝐴↑2) − 1)) ≤ (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))))
5237, 38npcand 10509 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (((𝐴↑2) − 1) + 1) = (𝐴↑2))
5352fveq2d 6308 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (√‘(((𝐴↑2) − 1) + 1)) = (√‘(𝐴↑2)))
5412, 16sqrtsqd 14278 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (√‘(𝐴↑2)) = 𝐴)
5553, 54eqtrd 2758 . . . 4 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (√‘(((𝐴↑2) − 1) + 1)) = 𝐴)
5655oveq1d 6780 . . 3 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((√‘(((𝐴↑2) − 1) + 1)) + (√‘((𝐴↑2) − 1))) = (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))))
57 pellfundge 37865 . . . 4 (((𝐴↑2) − 1) ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → ((√‘(((𝐴↑2) − 1) + 1)) + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ≤ (PellFund‘((𝐴↑2) − 1)))
581, 57syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((√‘(((𝐴↑2) − 1) + 1)) + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ≤ (PellFund‘((𝐴↑2) − 1)))
5956, 58eqbrtrrd 4784 . 2 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ≤ (PellFund‘((𝐴↑2) − 1)))
60 pellfundre 37864 . . . 4 (((𝐴↑2) − 1) ∈ (ℕ ∖ ◻NN) → (PellFund‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℝ)
611, 60syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (PellFund‘((𝐴↑2) − 1)) ∈ ℝ)
6261, 46letri3d 10292 . 2 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((PellFund‘((𝐴↑2) − 1)) = (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ↔ ((PellFund‘((𝐴↑2) − 1)) ≤ (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ∧ (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))) ≤ (PellFund‘((𝐴↑2) − 1)))))
6351, 59, 62mpbir2and 995 1 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (PellFund‘((𝐴↑2) − 1)) = (𝐴 + (√‘((𝐴↑2) − 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1596  wcel 2103  cdif 3677  wss 3680   class class class wbr 4760  cfv 6001  (class class class)co 6765  cr 10048  0cc0 10049  1c1 10050   + caddc 10052   · cmul 10054   < clt 10187  cle 10188  cmin 10379  cn 11133  2c2 11183  0cn0 11405  cz 11490  cuz 11800  cexp 12975  csqrt 14093  NNcsquarenn 37819  Pell1QRcpell1qr 37820  Pell14QRcpell14qr 37822  PellFundcpellfund 37823
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-inf2 8651  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126  ax-pre-sup 10127
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-se 5178  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-isom 6010  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-1o 7680  df-oadd 7684  df-omul 7685  df-er 7862  df-map 7976  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-fin 8076  df-sup 8464  df-inf 8465  df-oi 8531  df-card 8878  df-acn 8881  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-div 10798  df-nn 11134  df-2 11192  df-3 11193  df-n0 11406  df-xnn0 11477  df-z 11491  df-uz 11801  df-q 11903  df-rp 11947  df-ico 12295  df-fz 12441  df-fl 12708  df-mod 12784  df-seq 12917  df-exp 12976  df-hash 13233  df-cj 13959  df-re 13960  df-im 13961  df-sqrt 14095  df-abs 14096  df-dvds 15104  df-gcd 15340  df-numer 15566  df-denom 15567  df-squarenn 37824  df-pell1qr 37825  df-pell14qr 37826  df-pell1234qr 37827  df-pellfund 37828
This theorem is referenced by:  rmxyelqirr  37894  rmxycomplete  37901  rmbaserp  37903
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