MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimsqz2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rlimsqz2 14589
Description: Convergence of a sequence sandwiched between another converging sequence and its limit. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimsqz.d (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
rlimsqz.m (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
rlimsqz.l (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐷)
rlimsqz.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
rlimsqz.c ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
rlimsqz2.1 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑀𝑥)) → 𝐶𝐵)
rlimsqz2.2 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑀𝑥)) → 𝐷𝐶)
Assertion
Ref Expression
rlimsqz2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ⇝𝑟 𝐷)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐷   𝑥,𝑀   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem rlimsqz2
StepHypRef Expression
1 rlimsqz.m . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
2 rlimsqz.d . . 3 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
32recnd 10270 . 2 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
4 rlimsqz.l . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐷)
5 rlimsqz.b . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
65recnd 10270 . 2 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
7 rlimsqz.c . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
87recnd 10270 . 2 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
97adantrr 696 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑀𝑥)) → 𝐶 ∈ ℝ)
105adantrr 696 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑀𝑥)) → 𝐵 ∈ ℝ)
112adantr 466 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑀𝑥)) → 𝐷 ∈ ℝ)
12 rlimsqz2.1 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑀𝑥)) → 𝐶𝐵)
139, 10, 11, 12lesub1dd 10845 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑀𝑥)) → (𝐶𝐷) ≤ (𝐵𝐷))
14 rlimsqz2.2 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑀𝑥)) → 𝐷𝐶)
1511, 9, 14abssubge0d 14378 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑀𝑥)) → (abs‘(𝐶𝐷)) = (𝐶𝐷))
1611, 9, 10, 14, 12letrd 10396 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑀𝑥)) → 𝐷𝐵)
1711, 10, 16abssubge0d 14378 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑀𝑥)) → (abs‘(𝐵𝐷)) = (𝐵𝐷))
1813, 15, 173brtr4d 4818 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑀𝑥)) → (abs‘(𝐶𝐷)) ≤ (abs‘(𝐵𝐷)))
191, 3, 4, 6, 8, 18rlimsqzlem 14587 1 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ⇝𝑟 𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  wcel 2145   class class class wbr 4786  cmpt 4863  cfv 6031  (class class class)co 6793  cr 10137  cle 10277  cmin 10468  abscabs 14182  𝑟 crli 14424
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-pm 8012  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-sup 8504  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-rp 12036  df-ico 12386  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-rlim 14428
This theorem is referenced by:  cxp2limlem  24923  cxp2lim  24924  chpchtlim  25389  selberg2lem  25460
  Copyright terms: Public domain W3C validator