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Theorem rlimo1 14555
Description: Any function with a finite limit is eventually bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
rlimo1 (𝐹𝑟 𝐴𝐹 ∈ 𝑂(1))

Proof of Theorem rlimo1
Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rlimf 14440 . . . . . 6 (𝐹𝑟 𝐴𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
21ffvelrnda 6504 . . . . 5 ((𝐹𝑟 𝐴𝑧 ∈ dom 𝐹) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
32ralrimiva 3115 . . . 4 (𝐹𝑟 𝐴 → ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝐹𝑧) ∈ ℂ)
4 1rp 12039 . . . . 5 1 ∈ ℝ+
54a1i 11 . . . 4 (𝐹𝑟 𝐴 → 1 ∈ ℝ+)
61feqmptd 6393 . . . . 5 (𝐹𝑟 𝐴𝐹 = (𝑧 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹𝑧)))
7 id 22 . . . . 5 (𝐹𝑟 𝐴𝐹𝑟 𝐴)
86, 7eqbrtrrd 4811 . . . 4 (𝐹𝑟 𝐴 → (𝑧 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹𝑧)) ⇝𝑟 𝐴)
93, 5, 8rlimi 14452 . . 3 (𝐹𝑟 𝐴 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑦𝑧 → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐴)) < 1))
10 rlimcl 14442 . . . . . . . 8 (𝐹𝑟 𝐴𝐴 ∈ ℂ)
1110adantr 466 . . . . . . 7 ((𝐹𝑟 𝐴𝑦 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
1211abscld 14383 . . . . . 6 ((𝐹𝑟 𝐴𝑦 ∈ ℝ) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
13 peano2re 10415 . . . . . 6 ((abs‘𝐴) ∈ ℝ → ((abs‘𝐴) + 1) ∈ ℝ)
1412, 13syl 17 . . . . 5 ((𝐹𝑟 𝐴𝑦 ∈ ℝ) → ((abs‘𝐴) + 1) ∈ ℝ)
152adantlr 694 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹𝑟 𝐴𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
1611adantr 466 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹𝑟 𝐴𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → 𝐴 ∈ ℂ)
1715, 16abs2difd 14404 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝑟 𝐴𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → ((abs‘(𝐹𝑧)) − (abs‘𝐴)) ≤ (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐴)))
1815abscld 14383 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹𝑟 𝐴𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (abs‘(𝐹𝑧)) ∈ ℝ)
1912adantr 466 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹𝑟 𝐴𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
2018, 19resubcld 10664 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹𝑟 𝐴𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → ((abs‘(𝐹𝑧)) − (abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
2115, 16subcld 10598 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹𝑟 𝐴𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹𝑧) − 𝐴) ∈ ℂ)
2221abscld 14383 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹𝑟 𝐴𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐴)) ∈ ℝ)
23 1red 10261 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹𝑟 𝐴𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → 1 ∈ ℝ)
24 lelttr 10334 . . . . . . . . . . 11 ((((abs‘(𝐹𝑧)) − (abs‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐴)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((((abs‘(𝐹𝑧)) − (abs‘𝐴)) ≤ (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐴)) ∧ (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐴)) < 1) → ((abs‘(𝐹𝑧)) − (abs‘𝐴)) < 1))
2520, 22, 23, 24syl3anc 1476 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝑟 𝐴𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → ((((abs‘(𝐹𝑧)) − (abs‘𝐴)) ≤ (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐴)) ∧ (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐴)) < 1) → ((abs‘(𝐹𝑧)) − (abs‘𝐴)) < 1))
2617, 25mpand 675 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝑟 𝐴𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐴)) < 1 → ((abs‘(𝐹𝑧)) − (abs‘𝐴)) < 1))
2718, 19, 23ltsubadd2d 10831 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝑟 𝐴𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (((abs‘(𝐹𝑧)) − (abs‘𝐴)) < 1 ↔ (abs‘(𝐹𝑧)) < ((abs‘𝐴) + 1)))
2826, 27sylibd 229 . . . . . . . 8 (((𝐹𝑟 𝐴𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐴)) < 1 → (abs‘(𝐹𝑧)) < ((abs‘𝐴) + 1)))
2914adantr 466 . . . . . . . . 9 (((𝐹𝑟 𝐴𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → ((abs‘𝐴) + 1) ∈ ℝ)
30 ltle 10332 . . . . . . . . 9 (((abs‘(𝐹𝑧)) ∈ ℝ ∧ ((abs‘𝐴) + 1) ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐹𝑧)) < ((abs‘𝐴) + 1) → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ ((abs‘𝐴) + 1)))
3118, 29, 30syl2anc 573 . . . . . . . 8 (((𝐹𝑟 𝐴𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → ((abs‘(𝐹𝑧)) < ((abs‘𝐴) + 1) → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ ((abs‘𝐴) + 1)))
3228, 31syld 47 . . . . . . 7 (((𝐹𝑟 𝐴𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐴)) < 1 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ ((abs‘𝐴) + 1)))
3332imim2d 57 . . . . . 6 (((𝐹𝑟 𝐴𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → ((𝑦𝑧 → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐴)) < 1) → (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ ((abs‘𝐴) + 1))))
3433ralimdva 3111 . . . . 5 ((𝐹𝑟 𝐴𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑦𝑧 → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐴)) < 1) → ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑦𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ ((abs‘𝐴) + 1))))
35 breq2 4791 . . . . . . . 8 (𝑤 = ((abs‘𝐴) + 1) → ((abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑤 ↔ (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ ((abs‘𝐴) + 1)))
3635imbi2d 329 . . . . . . 7 (𝑤 = ((abs‘𝐴) + 1) → ((𝑦𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑤) ↔ (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ ((abs‘𝐴) + 1))))
3736ralbidv 3135 . . . . . 6 (𝑤 = ((abs‘𝐴) + 1) → (∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑦𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑤) ↔ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑦𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ ((abs‘𝐴) + 1))))
3837rspcev 3460 . . . . 5 ((((abs‘𝐴) + 1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑦𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ ((abs‘𝐴) + 1))) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑦𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑤))
3914, 34, 38syl6an 663 . . . 4 ((𝐹𝑟 𝐴𝑦 ∈ ℝ) → (∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑦𝑧 → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐴)) < 1) → ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑦𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑤)))
4039reximdva 3165 . . 3 (𝐹𝑟 𝐴 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑦𝑧 → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐴)) < 1) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑦𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑤)))
419, 40mpd 15 . 2 (𝐹𝑟 𝐴 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑦𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑤))
42 rlimss 14441 . . 3 (𝐹𝑟 𝐴 → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
43 elo12 14466 . . 3 ((𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℝ) → (𝐹 ∈ 𝑂(1) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑦𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑤)))
441, 42, 43syl2anc 573 . 2 (𝐹𝑟 𝐴 → (𝐹 ∈ 𝑂(1) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑤 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝑦𝑧 → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑤)))
4541, 44mpbird 247 1 (𝐹𝑟 𝐴𝐹 ∈ 𝑂(1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wral 3061  wrex 3062  wss 3723   class class class wbr 4787  cmpt 4864  dom cdm 5250  wf 6026  cfv 6030  (class class class)co 6796  cc 10140  cr 10141  1c1 10143   + caddc 10145   < clt 10280  cle 10281  cmin 10472  +crp 12035  abscabs 14182  𝑟 crli 14424  𝑂(1)co1 14425
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219  ax-pre-sup 10220
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7900  df-pm 8016  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-sup 8508  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-div 10891  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-n0 11500  df-z 11585  df-uz 11894  df-rp 12036  df-ico 12386  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-rlim 14428  df-o1 14429
This theorem is referenced by:  rlimdmo1  14556  o1const  14558  chebbnd2  25387  chto1lb  25388  chpo1ub  25390  vmadivsum  25392  dchrvmasumlem2  25408  dchrisum0lem1  25426  dchrisum0lem2a  25427  mudivsum  25440  mulog2sumlem2  25445  vmalogdivsum2  25448  2vmadivsumlem  25450  selberglem2  25456  selberg2lem  25460  selberg4lem1  25470  pntrsumo1  25475  pntrlog2bndlem2  25488  pntrlog2bndlem4  25490  pntrlog2bndlem5  25491
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