MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimi2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rlimi2 14452
Description: Convergence at infinity of a function on the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimi.1 (𝜑 → ∀𝑧𝐴 𝐵𝑉)
rlimi.2 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
rlimi.3 (𝜑 → (𝑧𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶)
rlimi.4 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
rlimi2 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (𝐷[,)+∞)∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑅))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑧,𝐴   𝑦,𝐵   𝑦,𝐶,𝑧   𝜑,𝑦   𝑦,𝑅,𝑧   𝑦,𝐷,𝑧   𝑧,𝑉
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐵(𝑧)   𝑉(𝑦)

Proof of Theorem rlimi2
StepHypRef Expression
1 rlimi.1 . . 3 (𝜑 → ∀𝑧𝐴 𝐵𝑉)
2 rlimi.2 . . 3 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
3 rlimi.3 . . 3 (𝜑 → (𝑧𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶)
41, 2, 3rlimi 14451 . 2 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑅))
5 eqid 2770 . . . . . 6 (𝑧𝐴𝐵) = (𝑧𝐴𝐵)
65fnmpt 6160 . . . . 5 (∀𝑧𝐴 𝐵𝑉 → (𝑧𝐴𝐵) Fn 𝐴)
7 fndm 6130 . . . . 5 ((𝑧𝐴𝐵) Fn 𝐴 → dom (𝑧𝐴𝐵) = 𝐴)
81, 6, 73syl 18 . . . 4 (𝜑 → dom (𝑧𝐴𝐵) = 𝐴)
9 rlimss 14440 . . . . 5 ((𝑧𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶 → dom (𝑧𝐴𝐵) ⊆ ℝ)
103, 9syl 17 . . . 4 (𝜑 → dom (𝑧𝐴𝐵) ⊆ ℝ)
118, 10eqsstr3d 3787 . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
12 rlimi.4 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
13 rexico 14300 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ (𝐷[,)+∞)∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑅) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑅)))
1411, 12, 13syl2anc 565 . 2 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ (𝐷[,)+∞)∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑅) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑅)))
154, 14mpbird 247 1 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (𝐷[,)+∞)∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196   = wceq 1630  wcel 2144  wral 3060  wrex 3061  wss 3721   class class class wbr 4784  cmpt 4861  dom cdm 5249   Fn wfn 6026  cfv 6031  (class class class)co 6792  cr 10136  +∞cpnf 10272   < clt 10275  cle 10276  cmin 10467  +crp 12034  [,)cico 12381  abscabs 14181  𝑟 crli 14423
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-op 4321  df-uni 4573  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-id 5157  df-po 5170  df-so 5171  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-er 7895  df-pm 8011  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-ico 12385  df-rlim 14427
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator