MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rlimi 14414
Description: Convergence at infinity of a function on the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimi.1 (𝜑 → ∀𝑧𝐴 𝐵𝑉)
rlimi.2 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
rlimi.3 (𝜑 → (𝑧𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶)
Assertion
Ref Expression
rlimi (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑅))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑧,𝐴   𝑦,𝐵   𝑦,𝐶,𝑧   𝜑,𝑦   𝑦,𝑅,𝑧   𝑧,𝑉
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐵(𝑧)   𝑉(𝑦)

Proof of Theorem rlimi
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rlimi.2 . 2 (𝜑𝑅 ∈ ℝ+)
2 rlimi.3 . . 3 (𝜑 → (𝑧𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶)
3 rlimf 14402 . . . . . . 7 ((𝑧𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶 → (𝑧𝐴𝐵):dom (𝑧𝐴𝐵)⟶ℂ)
42, 3syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑧𝐴𝐵):dom (𝑧𝐴𝐵)⟶ℂ)
5 rlimi.1 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑧𝐴 𝐵𝑉)
6 eqid 2748 . . . . . . . . . 10 (𝑧𝐴𝐵) = (𝑧𝐴𝐵)
76fmpt 6532 . . . . . . . . 9 (∀𝑧𝐴 𝐵𝑉 ↔ (𝑧𝐴𝐵):𝐴𝑉)
85, 7sylib 208 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑧𝐴𝐵):𝐴𝑉)
9 fdm 6200 . . . . . . . 8 ((𝑧𝐴𝐵):𝐴𝑉 → dom (𝑧𝐴𝐵) = 𝐴)
108, 9syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → dom (𝑧𝐴𝐵) = 𝐴)
1110feq2d 6180 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑧𝐴𝐵):dom (𝑧𝐴𝐵)⟶ℂ ↔ (𝑧𝐴𝐵):𝐴⟶ℂ))
124, 11mpbid 222 . . . . 5 (𝜑 → (𝑧𝐴𝐵):𝐴⟶ℂ)
136fmpt 6532 . . . . 5 (∀𝑧𝐴 𝐵 ∈ ℂ ↔ (𝑧𝐴𝐵):𝐴⟶ℂ)
1412, 13sylibr 224 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑧𝐴 𝐵 ∈ ℂ)
15 rlimss 14403 . . . . . 6 ((𝑧𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶 → dom (𝑧𝐴𝐵) ⊆ ℝ)
162, 15syl 17 . . . . 5 (𝜑 → dom (𝑧𝐴𝐵) ⊆ ℝ)
1710, 16eqsstr3d 3769 . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
18 rlimcl 14404 . . . . 5 ((𝑧𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶𝐶 ∈ ℂ)
192, 18syl 17 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
2014, 17, 19rlim2 14397 . . 3 (𝜑 → ((𝑧𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐶 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥)))
212, 20mpbid 222 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥))
22 breq2 4796 . . . . 5 (𝑥 = 𝑅 → ((abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥 ↔ (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑅))
2322imbi2d 329 . . . 4 (𝑥 = 𝑅 → ((𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥) ↔ (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑅)))
2423rexralbidv 3184 . . 3 (𝑥 = 𝑅 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑅)))
2524rspcv 3433 . 2 (𝑅 ∈ ℝ+ → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑥) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑅)))
261, 21, 25sylc 65 1 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘(𝐵𝐶)) < 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1620  wcel 2127  wral 3038  wrex 3039  wss 3703   class class class wbr 4792  cmpt 4869  dom cdm 5254  wf 6033  cfv 6037  (class class class)co 6801  cc 10097  cr 10098   < clt 10237  cle 10238  cmin 10429  +crp 11996  abscabs 14144  𝑟 crli 14386
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-ral 3043  df-rex 3044  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-op 4316  df-uni 4577  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-id 5162  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-fv 6045  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-pm 8014  df-rlim 14390
This theorem is referenced by:  rlimi2  14415  rlimclim1  14446  rlimuni  14451  rlimcld2  14479  rlimcn1  14489  rlimcn2  14491  rlimo1  14517  o1rlimmul  14519  rlimno1  14554  xrlimcnp  24865  rlimcxp  24870  chtppilimlem2  25333  dchrisumlem3  25350
  Copyright terms: Public domain W3C validator