Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rlimdmafv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rlimdmafv 41755
Description: Two ways to express that a function has a limit, analogous to rlimdm 14473. (Contributed by Alexander van der Vekens, 27-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimdmafv.1 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
rlimdmafv.2 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
Assertion
Ref Expression
rlimdmafv (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ⇝𝑟𝐹𝑟 ( ⇝𝑟 '''𝐹)))

Proof of Theorem rlimdmafv
Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldmg 5466 . . . 4 (𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 → (𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 ↔ ∃𝑥 𝐹𝑟 𝑥))
21ibi 256 . . 3 (𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 → ∃𝑥 𝐹𝑟 𝑥)
3 simpr 479 . . . . . 6 ((𝜑𝐹𝑟 𝑥) → 𝐹𝑟 𝑥)
4 rlimrel 14415 . . . . . . . . . . . 12 Rel ⇝𝑟
54brrelexi 5307 . . . . . . . . . . 11 (𝐹𝑟 𝑥𝐹 ∈ V)
65adantl 473 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐹𝑟 𝑥) → 𝐹 ∈ V)
7 vex 3335 . . . . . . . . . . 11 𝑥 ∈ V
87a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐹𝑟 𝑥) → 𝑥 ∈ V)
9 breldmg 5477 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ V ∧ 𝐹𝑟 𝑥) → 𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 )
106, 8, 3, 9syl3anc 1473 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐹𝑟 𝑥) → 𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 )
11 breq2 4800 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑥 → (𝐹𝑟 𝑦𝐹𝑟 𝑥))
1211biimprd 238 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑥 → (𝐹𝑟 𝑥𝐹𝑟 𝑦))
1312spimev 2396 . . . . . . . . . . 11 (𝐹𝑟 𝑥 → ∃𝑦 𝐹𝑟 𝑦)
1413adantl 473 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐹𝑟 𝑥) → ∃𝑦 𝐹𝑟 𝑦)
15 rlimdmafv.1 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
1615adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝐹𝑟 𝑥) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
1716adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐹𝑟 𝑥) ∧ (𝐹𝑟 𝑦𝐹𝑟 𝑧)) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
18 rlimdmafv.2 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
1918adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝐹𝑟 𝑥) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
2019adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐹𝑟 𝑥) ∧ (𝐹𝑟 𝑦𝐹𝑟 𝑧)) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
21 simprl 811 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐹𝑟 𝑥) ∧ (𝐹𝑟 𝑦𝐹𝑟 𝑧)) → 𝐹𝑟 𝑦)
22 simprr 813 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐹𝑟 𝑥) ∧ (𝐹𝑟 𝑦𝐹𝑟 𝑧)) → 𝐹𝑟 𝑧)
2317, 20, 21, 22rlimuni 14472 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐹𝑟 𝑥) ∧ (𝐹𝑟 𝑦𝐹𝑟 𝑧)) → 𝑦 = 𝑧)
2423ex 449 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐹𝑟 𝑥) → ((𝐹𝑟 𝑦𝐹𝑟 𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
2524alrimivv 1997 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐹𝑟 𝑥) → ∀𝑦𝑧((𝐹𝑟 𝑦𝐹𝑟 𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
26 breq2 4800 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑧 → (𝐹𝑟 𝑦𝐹𝑟 𝑧))
2726eu4 2648 . . . . . . . . . 10 (∃!𝑦 𝐹𝑟 𝑦 ↔ (∃𝑦 𝐹𝑟 𝑦 ∧ ∀𝑦𝑧((𝐹𝑟 𝑦𝐹𝑟 𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
2814, 25, 27sylanbrc 701 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐹𝑟 𝑥) → ∃!𝑦 𝐹𝑟 𝑦)
29 dfdfat2 41709 . . . . . . . . 9 ( ⇝𝑟 defAt 𝐹 ↔ (𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 ∧ ∃!𝑦 𝐹𝑟 𝑦))
3010, 28, 29sylanbrc 701 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐹𝑟 𝑥) → ⇝𝑟 defAt 𝐹)
31 afvfundmfveq 41716 . . . . . . . 8 ( ⇝𝑟 defAt 𝐹 → ( ⇝𝑟 '''𝐹) = ( ⇝𝑟𝐹))
3230, 31syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝐹𝑟 𝑥) → ( ⇝𝑟 '''𝐹) = ( ⇝𝑟𝐹))
33 df-fv 6049 . . . . . . . 8 ( ⇝𝑟𝐹) = (℩𝑤𝐹𝑟 𝑤)
3415adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑟 𝑥𝐹𝑟 𝑤)) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
3518adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑟 𝑥𝐹𝑟 𝑤)) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞)
36 simprr 813 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑟 𝑥𝐹𝑟 𝑤)) → 𝐹𝑟 𝑤)
37 simprl 811 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑟 𝑥𝐹𝑟 𝑤)) → 𝐹𝑟 𝑥)
3834, 35, 36, 37rlimuni 14472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑟 𝑥𝐹𝑟 𝑤)) → 𝑤 = 𝑥)
3938expr 644 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐹𝑟 𝑥) → (𝐹𝑟 𝑤𝑤 = 𝑥))
40 breq2 4800 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 = 𝑥 → (𝐹𝑟 𝑤𝐹𝑟 𝑥))
413, 40syl5ibrcom 237 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐹𝑟 𝑥) → (𝑤 = 𝑥𝐹𝑟 𝑤))
4239, 41impbid 202 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐹𝑟 𝑥) → (𝐹𝑟 𝑤𝑤 = 𝑥))
4342adantr 472 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐹𝑟 𝑥) ∧ 𝑥 ∈ V) → (𝐹𝑟 𝑤𝑤 = 𝑥))
4443iota5 6024 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐹𝑟 𝑥) ∧ 𝑥 ∈ V) → (℩𝑤𝐹𝑟 𝑤) = 𝑥)
457, 44mpan2 709 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐹𝑟 𝑥) → (℩𝑤𝐹𝑟 𝑤) = 𝑥)
4633, 45syl5eq 2798 . . . . . . 7 ((𝜑𝐹𝑟 𝑥) → ( ⇝𝑟𝐹) = 𝑥)
4732, 46eqtrd 2786 . . . . . 6 ((𝜑𝐹𝑟 𝑥) → ( ⇝𝑟 '''𝐹) = 𝑥)
483, 47breqtrrd 4824 . . . . 5 ((𝜑𝐹𝑟 𝑥) → 𝐹𝑟 ( ⇝𝑟 '''𝐹))
4948ex 449 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝑟 𝑥𝐹𝑟 ( ⇝𝑟 '''𝐹)))
5049exlimdv 2002 . . 3 (𝜑 → (∃𝑥 𝐹𝑟 𝑥𝐹𝑟 ( ⇝𝑟 '''𝐹)))
512, 50syl5 34 . 2 (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ⇝𝑟𝐹𝑟 ( ⇝𝑟 '''𝐹)))
524releldmi 5509 . 2 (𝐹𝑟 ( ⇝𝑟 '''𝐹) → 𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 )
5351, 52impbid1 215 1 (𝜑 → (𝐹 ∈ dom ⇝𝑟𝐹𝑟 ( ⇝𝑟 '''𝐹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  wal 1622   = wceq 1624  wex 1845  wcel 2131  ∃!weu 2599  Vcvv 3332   class class class wbr 4796  dom cdm 5258  cio 6002  wf 6037  cfv 6041  supcsup 8503  cc 10118  +∞cpnf 10255  *cxr 10257   < clt 10258  𝑟 crli 14407   defAt wdfat 41691  '''cafv 41692
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197  ax-pre-sup 10198
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-2nd 7326  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-er 7903  df-pm 8018  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-sup 8505  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-div 10869  df-nn 11205  df-2 11263  df-3 11264  df-n0 11477  df-z 11562  df-uz 11872  df-rp 12018  df-seq 12988  df-exp 13047  df-cj 14030  df-re 14031  df-im 14032  df-sqrt 14166  df-abs 14167  df-rlim 14411  df-dfat 41694  df-afv 41695
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator