MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimdiv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rlimdiv 14583
Description: Limit of the quotient of two converging functions. Proposition 12-2.1(a) of [Gleason] p. 168. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimadd.3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
rlimadd.4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶𝑉)
rlimadd.5 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐷)
rlimadd.6 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ⇝𝑟 𝐸)
rlimdiv.7 (𝜑𝐸 ≠ 0)
rlimdiv.8 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
rlimdiv (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 / 𝐶)) ⇝𝑟 (𝐷 / 𝐸))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐷   𝜑,𝑥   𝑥,𝐸
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem rlimdiv
Dummy variables 𝑤 𝑣 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rlimadd.3 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
2 rlimadd.5 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐷)
31, 2rlimmptrcl 14545 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
4 rlimadd.4 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶𝑉)
5 rlimadd.6 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ⇝𝑟 𝐸)
64, 5rlimmptrcl 14545 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
7 rlimdiv.8 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ≠ 0)
86, 7reccld 10995 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → (1 / 𝐶) ∈ ℂ)
9 eldifsn 4451 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0))
106, 7, 9sylanbrc 564 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ (ℂ ∖ {0}))
11 eqid 2770 . . . . . 6 (𝑥𝐴𝐶) = (𝑥𝐴𝐶)
1210, 11fmptd 6527 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶):𝐴⟶(ℂ ∖ {0}))
13 rlimcl 14441 . . . . . . 7 ((𝑥𝐴𝐶) ⇝𝑟 𝐸𝐸 ∈ ℂ)
145, 13syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
15 rlimdiv.7 . . . . . 6 (𝜑𝐸 ≠ 0)
16 eldifsn 4451 . . . . . 6 (𝐸 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ≠ 0))
1714, 15, 16sylanbrc 564 . . . . 5 (𝜑𝐸 ∈ (ℂ ∖ {0}))
18 eldifsn 4451 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0))
19 reccl 10893 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) → (1 / 𝑦) ∈ ℂ)
2018, 19sylbi 207 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) → (1 / 𝑦) ∈ ℂ)
2120adantl 467 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (1 / 𝑦) ∈ ℂ)
22 eqid 2770 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦)) = (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))
2321, 22fmptd 6527 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦)):(ℂ ∖ {0})⟶ℂ)
24 eqid 2770 . . . . . . . 8 (if(1 ≤ ((abs‘𝐸) · 𝑧), 1, ((abs‘𝐸) · 𝑧)) · ((abs‘𝐸) / 2)) = (if(1 ≤ ((abs‘𝐸) · 𝑧), 1, ((abs‘𝐸) · 𝑧)) · ((abs‘𝐸) / 2))
2524reccn2 14534 . . . . . . 7 ((𝐸 ∈ (ℂ ∖ {0}) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → ∃𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑣𝐸)) < 𝑤 → (abs‘((1 / 𝑣) − (1 / 𝐸))) < 𝑧))
2617, 25sylan 561 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ+) → ∃𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑣𝐸)) < 𝑤 → (abs‘((1 / 𝑣) − (1 / 𝐸))) < 𝑧))
27 oveq2 6800 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑣 → (1 / 𝑦) = (1 / 𝑣))
28 ovex 6822 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 / 𝑣) ∈ V
2927, 22, 28fvmpt 6424 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝑣) = (1 / 𝑣))
30 oveq2 6800 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝐸 → (1 / 𝑦) = (1 / 𝐸))
31 ovex 6822 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 / 𝐸) ∈ V
3230, 22, 31fvmpt 6424 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐸 ∈ (ℂ ∖ {0}) → ((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝐸) = (1 / 𝐸))
3317, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝐸) = (1 / 𝐸))
3429, 33oveqan12rd 6812 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝑣) − ((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝐸)) = ((1 / 𝑣) − (1 / 𝐸)))
3534fveq2d 6336 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝑣) − ((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝐸))) = (abs‘((1 / 𝑣) − (1 / 𝐸))))
3635breq1d 4794 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0})) → ((abs‘(((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝑣) − ((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝐸))) < 𝑧 ↔ (abs‘((1 / 𝑣) − (1 / 𝐸))) < 𝑧))
3736imbi2d 329 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (((abs‘(𝑣𝐸)) < 𝑤 → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝑣) − ((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝐸))) < 𝑧) ↔ ((abs‘(𝑣𝐸)) < 𝑤 → (abs‘((1 / 𝑣) − (1 / 𝐸))) < 𝑧)))
3837ralbidva 3133 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∀𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑣𝐸)) < 𝑤 → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝑣) − ((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝐸))) < 𝑧) ↔ ∀𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑣𝐸)) < 𝑤 → (abs‘((1 / 𝑣) − (1 / 𝐸))) < 𝑧)))
3938rexbidv 3199 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑣𝐸)) < 𝑤 → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝑣) − ((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝐸))) < 𝑧) ↔ ∃𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑣𝐸)) < 𝑤 → (abs‘((1 / 𝑣) − (1 / 𝐸))) < 𝑧)))
4039biimpar 463 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ∃𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑣𝐸)) < 𝑤 → (abs‘((1 / 𝑣) − (1 / 𝐸))) < 𝑧)) → ∃𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑣𝐸)) < 𝑤 → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝑣) − ((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝐸))) < 𝑧))
4126, 40syldan 571 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ+) → ∃𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (ℂ ∖ {0})((abs‘(𝑣𝐸)) < 𝑤 → (abs‘(((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝑣) − ((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝐸))) < 𝑧))
4212, 17, 5, 23, 41rlimcn1 14526 . . . 4 (𝜑 → ((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦)) ∘ (𝑥𝐴𝐶)) ⇝𝑟 ((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦))‘𝐸))
43 eqidd 2771 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) = (𝑥𝐴𝐶))
44 eqidd 2771 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦)) = (𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦)))
45 oveq2 6800 . . . . 5 (𝑦 = 𝐶 → (1 / 𝑦) = (1 / 𝐶))
4610, 43, 44, 45fmptco 6538 . . . 4 (𝜑 → ((𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑦)) ∘ (𝑥𝐴𝐶)) = (𝑥𝐴 ↦ (1 / 𝐶)))
4742, 46, 333brtr3d 4815 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (1 / 𝐶)) ⇝𝑟 (1 / 𝐸))
483, 8, 2, 47rlimmul 14582 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 · (1 / 𝐶))) ⇝𝑟 (𝐷 · (1 / 𝐸)))
493, 6, 7divrecd 11005 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐵 / 𝐶) = (𝐵 · (1 / 𝐶)))
5049mpteq2dva 4876 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 / 𝐶)) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 · (1 / 𝐶))))
51 rlimcl 14441 . . . 4 ((𝑥𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝐷𝐷 ∈ ℂ)
522, 51syl 17 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
5352, 14, 15divrecd 11005 . 2 (𝜑 → (𝐷 / 𝐸) = (𝐷 · (1 / 𝐸)))
5448, 50, 533brtr4d 4816 1 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 / 𝐶)) ⇝𝑟 (𝐷 / 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1630  wcel 2144  wne 2942  wral 3060  wrex 3061  cdif 3718  ifcif 4223  {csn 4314   class class class wbr 4784  cmpt 4861  ccom 5253  cfv 6031  (class class class)co 6792  cc 10135  0cc0 10137  1c1 10138   · cmul 10142   < clt 10275  cle 10276  cmin 10467   / cdiv 10885  2c2 11271  +crp 12034  abscabs 14181  𝑟 crli 14423
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215  ax-mulf 10217
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-er 7895  df-pm 8011  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-sup 8503  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-rp 12035  df-seq 13008  df-exp 13067  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183  df-rlim 14427
This theorem is referenced by:  logexprlim  25170  chebbnd2  25386  chto1lb  25387  pnt2  25522  pnt  25523
  Copyright terms: Public domain W3C validator