MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimcnp3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rlimcnp3 24921
Description: Relate a limit of a real-valued sequence at infinity to the continuity of the function 𝑆(𝑦) = 𝑅(1 / 𝑦) at zero. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimcnp3.c (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
rlimcnp3.r ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑆 ∈ ℂ)
rlimcnp3.s (𝑦 = (1 / 𝑥) → 𝑆 = 𝑅)
rlimcnp3.j 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
rlimcnp3.k 𝐾 = (𝐽t (0[,)+∞))
Assertion
Ref Expression
rlimcnp3 (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℝ+𝑆) ⇝𝑟 𝐶 ↔ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ if(𝑥 = 0, 𝐶, 𝑅)) ∈ ((𝐾 CnP 𝐽)‘0)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐶   𝜑,𝑥,𝑦   𝑦,𝑅   𝑥,𝑆
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑦)   𝐽(𝑥,𝑦)   𝐾(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem rlimcnp3
StepHypRef Expression
1 ssid 3770 . . 3 (0[,)+∞) ⊆ (0[,)+∞)
21a1i 11 . 2 (𝜑 → (0[,)+∞) ⊆ (0[,)+∞))
3 0e0icopnf 12488 . . 3 0 ∈ (0[,)+∞)
43a1i 11 . 2 (𝜑 → 0 ∈ (0[,)+∞))
5 rpssre 12045 . . 3 + ⊆ ℝ
65a1i 11 . 2 (𝜑 → ℝ+ ⊆ ℝ)
7 rlimcnp3.c . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
8 rlimcnp3.r . 2 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑆 ∈ ℂ)
9 simpr 480 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℝ+)
10 rpreccl 12059 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑦) ∈ ℝ+)
1110adantl 474 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑦) ∈ ℝ+)
1211rpred 12074 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑦) ∈ ℝ)
1311rpge0d 12078 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → 0 ≤ (1 / 𝑦))
14 elrege0 12484 . . . 4 ((1 / 𝑦) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((1 / 𝑦) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 𝑦)))
1512, 13, 14sylanbrc 698 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
169, 152thd 255 . 2 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑦 ∈ ℝ+ ↔ (1 / 𝑦) ∈ (0[,)+∞)))
17 rlimcnp3.s . 2 (𝑦 = (1 / 𝑥) → 𝑆 = 𝑅)
18 rlimcnp3.j . 2 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
19 rlimcnp3.k . 2 𝐾 = (𝐽t (0[,)+∞))
202, 4, 6, 7, 8, 16, 17, 18, 19rlimcnp2 24920 1 (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℝ+𝑆) ⇝𝑟 𝐶 ↔ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↦ if(𝑥 = 0, 𝐶, 𝑅)) ∈ ((𝐾 CnP 𝐽)‘0)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1629  wcel 2143  wss 3720  ifcif 4222   class class class wbr 4783  cmpt 4860  cfv 6030  (class class class)co 6791  cc 10134  cr 10135  0cc0 10136  1c1 10137  +∞cpnf 10271  cle 10275   / cdiv 10884  +crp 12034  [,)cico 12381  𝑟 crli 14427  t crest 16295  TopOpenctopn 16296  fldccnfld 19967   CnP ccnp 21256
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1868  ax-4 1883  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2145  ax-9 2152  ax-10 2172  ax-11 2188  ax-12 2201  ax-13 2406  ax-ext 2749  ax-rep 4901  ax-sep 4911  ax-nul 4919  ax-pow 4970  ax-pr 5033  ax-un 7094  ax-cnex 10192  ax-resscn 10193  ax-1cn 10194  ax-icn 10195  ax-addcl 10196  ax-addrcl 10197  ax-mulcl 10198  ax-mulrcl 10199  ax-mulcom 10200  ax-addass 10201  ax-mulass 10202  ax-distr 10203  ax-i2m1 10204  ax-1ne0 10205  ax-1rid 10206  ax-rnegex 10207  ax-rrecex 10208  ax-cnre 10209  ax-pre-lttri 10210  ax-pre-lttrn 10211  ax-pre-ltadd 10212  ax-pre-mulgt0 10213  ax-pre-sup 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1632  df-ex 1851  df-nf 1856  df-sb 2048  df-eu 2620  df-mo 2621  df-clab 2756  df-cleq 2762  df-clel 2765  df-nfc 2900  df-ne 2942  df-nel 3045  df-ral 3064  df-rex 3065  df-reu 3066  df-rmo 3067  df-rab 3068  df-v 3350  df-sbc 3585  df-csb 3680  df-dif 3723  df-un 3725  df-in 3727  df-ss 3734  df-pss 3736  df-nul 4061  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4572  df-int 4609  df-iun 4653  df-br 4784  df-opab 4844  df-mpt 4861  df-tr 4884  df-id 5156  df-eprel 5161  df-po 5169  df-so 5170  df-fr 5207  df-we 5209  df-xp 5254  df-rel 5255  df-cnv 5256  df-co 5257  df-dm 5258  df-rn 5259  df-res 5260  df-ima 5261  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6752  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-om 7211  df-1st 7313  df-2nd 7314  df-wrecs 7557  df-recs 7619  df-rdg 7657  df-1o 7711  df-oadd 7715  df-er 7894  df-map 8009  df-pm 8010  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-fin 8111  df-sup 8502  df-inf 8503  df-pnf 10276  df-mnf 10277  df-xr 10278  df-ltxr 10279  df-le 10280  df-sub 10468  df-neg 10469  df-div 10885  df-nn 11221  df-2 11279  df-3 11280  df-4 11281  df-5 11282  df-6 11283  df-7 11284  df-8 11285  df-9 11286  df-n0 11493  df-z 11578  df-dec 11694  df-uz 11888  df-q 11991  df-rp 12035  df-xneg 12150  df-xadd 12151  df-xmul 12152  df-ioo 12383  df-ico 12385  df-fz 12533  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14050  df-re 14051  df-im 14052  df-sqrt 14186  df-abs 14187  df-rlim 14431  df-struct 16072  df-ndx 16073  df-slot 16074  df-base 16076  df-plusg 16168  df-mulr 16169  df-starv 16170  df-tset 16174  df-ple 16175  df-ds 16178  df-unif 16179  df-rest 16297  df-topn 16298  df-topgen 16318  df-psmet 19959  df-xmet 19960  df-met 19961  df-bl 19962  df-mopn 19963  df-cnfld 19968  df-top 20925  df-topon 20942  df-bases 20977  df-cnp 21259
This theorem is referenced by:  efrlim  24923
  Copyright terms: Public domain W3C validator