MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimcnp2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rlimcnp2 24892
Description: Relate a limit of a real-valued sequence at infinity to the continuity of the function 𝑆(𝑦) = 𝑅(1 / 𝑦) at zero. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimcnp2.a (𝜑𝐴 ⊆ (0[,)+∞))
rlimcnp2.0 (𝜑 → 0 ∈ 𝐴)
rlimcnp2.b (𝜑𝐵 ⊆ ℝ)
rlimcnp2.c (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
rlimcnp2.r ((𝜑𝑦𝐵) → 𝑆 ∈ ℂ)
rlimcnp2.d ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑦𝐵 ↔ (1 / 𝑦) ∈ 𝐴))
rlimcnp2.s (𝑦 = (1 / 𝑥) → 𝑆 = 𝑅)
rlimcnp2.j 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
rlimcnp2.k 𝐾 = (𝐽t 𝐴)
Assertion
Ref Expression
rlimcnp2 (𝜑 → ((𝑦𝐵𝑆) ⇝𝑟 𝐶 ↔ (𝑥𝐴 ↦ if(𝑥 = 0, 𝐶, 𝑅)) ∈ ((𝐾 CnP 𝐽)‘0)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑦,𝑅   𝑥,𝑆
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑦)   𝐽(𝑥,𝑦)   𝐾(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem rlimcnp2
Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss1 3976 . . . . . . . 8 (𝐵 ∩ (1[,)+∞)) ⊆ 𝐵
2 resmpt 5607 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∩ (1[,)+∞)) ⊆ 𝐵 → ((𝑦𝐵𝑆) ↾ (𝐵 ∩ (1[,)+∞))) = (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ (1[,)+∞)) ↦ 𝑆))
31, 2mp1i 13 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑦𝐵𝑆) ↾ (𝐵 ∩ (1[,)+∞))) = (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ (1[,)+∞)) ↦ 𝑆))
4 0xr 10278 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ*
5 0lt1 10742 . . . . . . . . . . 11 0 < 1
6 df-ioo 12372 . . . . . . . . . . . 12 (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧 < 𝑦)})
7 df-ico 12374 . . . . . . . . . . . 12 [,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)})
8 xrltletr 12181 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝑤) → 0 < 𝑤))
96, 7, 8ixxss1 12386 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ* ∧ 0 < 1) → (1[,)+∞) ⊆ (0(,)+∞))
104, 5, 9mp2an 710 . . . . . . . . . 10 (1[,)+∞) ⊆ (0(,)+∞)
11 ioorp 12444 . . . . . . . . . 10 (0(,)+∞) = ℝ+
1210, 11sseqtri 3778 . . . . . . . . 9 (1[,)+∞) ⊆ ℝ+
13 sslin 3982 . . . . . . . . 9 ((1[,)+∞) ⊆ ℝ+ → (𝐵 ∩ (1[,)+∞)) ⊆ (𝐵 ∩ ℝ+))
1412, 13ax-mp 5 . . . . . . . 8 (𝐵 ∩ (1[,)+∞)) ⊆ (𝐵 ∩ ℝ+)
15 resmpt 5607 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∩ (1[,)+∞)) ⊆ (𝐵 ∩ ℝ+) → ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆) ↾ (𝐵 ∩ (1[,)+∞))) = (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ (1[,)+∞)) ↦ 𝑆))
1614, 15mp1i 13 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆) ↾ (𝐵 ∩ (1[,)+∞))) = (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ (1[,)+∞)) ↦ 𝑆))
173, 16eqtr4d 2797 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑦𝐵𝑆) ↾ (𝐵 ∩ (1[,)+∞))) = ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆) ↾ (𝐵 ∩ (1[,)+∞))))
18 resres 5567 . . . . . 6 (((𝑦𝐵𝑆) ↾ 𝐵) ↾ (1[,)+∞)) = ((𝑦𝐵𝑆) ↾ (𝐵 ∩ (1[,)+∞)))
19 resres 5567 . . . . . 6 (((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆) ↾ 𝐵) ↾ (1[,)+∞)) = ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆) ↾ (𝐵 ∩ (1[,)+∞)))
2017, 18, 193eqtr4g 2819 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑦𝐵𝑆) ↾ 𝐵) ↾ (1[,)+∞)) = (((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆) ↾ 𝐵) ↾ (1[,)+∞)))
21 rlimcnp2.r . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐵) → 𝑆 ∈ ℂ)
22 eqid 2760 . . . . . . . . 9 (𝑦𝐵𝑆) = (𝑦𝐵𝑆)
2321, 22fmptd 6548 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑦𝐵𝑆):𝐵⟶ℂ)
24 ffn 6206 . . . . . . . 8 ((𝑦𝐵𝑆):𝐵⟶ℂ → (𝑦𝐵𝑆) Fn 𝐵)
2523, 24syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑦𝐵𝑆) Fn 𝐵)
26 fnresdm 6161 . . . . . . 7 ((𝑦𝐵𝑆) Fn 𝐵 → ((𝑦𝐵𝑆) ↾ 𝐵) = (𝑦𝐵𝑆))
2725, 26syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑦𝐵𝑆) ↾ 𝐵) = (𝑦𝐵𝑆))
2827reseq1d 5550 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑦𝐵𝑆) ↾ 𝐵) ↾ (1[,)+∞)) = ((𝑦𝐵𝑆) ↾ (1[,)+∞)))
29 inss1 3976 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∩ ℝ+) ⊆ 𝐵
3029sseli 3740 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) → 𝑦𝐵)
3130, 21sylan2 492 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+)) → 𝑆 ∈ ℂ)
32 eqid 2760 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆) = (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆)
3331, 32fmptd 6548 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆):(𝐵 ∩ ℝ+)⟶ℂ)
34 frel 6211 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆):(𝐵 ∩ ℝ+)⟶ℂ → Rel (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆))
3533, 34syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → Rel (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆))
3632, 31dmmptd 6185 . . . . . . . 8 (𝜑 → dom (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆) = (𝐵 ∩ ℝ+))
3736, 29syl6eqss 3796 . . . . . . 7 (𝜑 → dom (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆) ⊆ 𝐵)
38 relssres 5595 . . . . . . 7 ((Rel (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆) ∧ dom (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆) ⊆ 𝐵) → ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆) ↾ 𝐵) = (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆))
3935, 37, 38syl2anc 696 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆) ↾ 𝐵) = (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆))
4039reseq1d 5550 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆) ↾ 𝐵) ↾ (1[,)+∞)) = ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆) ↾ (1[,)+∞)))
4120, 28, 403eqtr3d 2802 . . . 4 (𝜑 → ((𝑦𝐵𝑆) ↾ (1[,)+∞)) = ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆) ↾ (1[,)+∞)))
4241breq1d 4814 . . 3 (𝜑 → (((𝑦𝐵𝑆) ↾ (1[,)+∞)) ⇝𝑟 𝐶 ↔ ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆) ↾ (1[,)+∞)) ⇝𝑟 𝐶))
43 rlimcnp2.b . . . 4 (𝜑𝐵 ⊆ ℝ)
44 1red 10247 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
4523, 43, 44rlimresb 14495 . . 3 (𝜑 → ((𝑦𝐵𝑆) ⇝𝑟 𝐶 ↔ ((𝑦𝐵𝑆) ↾ (1[,)+∞)) ⇝𝑟 𝐶))
4629, 43syl5ss 3755 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 ∩ ℝ+) ⊆ ℝ)
4733, 46, 44rlimresb 14495 . . 3 (𝜑 → ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆) ⇝𝑟 𝐶 ↔ ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆) ↾ (1[,)+∞)) ⇝𝑟 𝐶))
4842, 45, 473bitr4d 300 . 2 (𝜑 → ((𝑦𝐵𝑆) ⇝𝑟 𝐶 ↔ (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆) ⇝𝑟 𝐶))
49 inss2 3977 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∩ ℝ+) ⊆ ℝ+
5049a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵 ∩ ℝ+) ⊆ ℝ+)
5150sselda 3744 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+)) → 𝑦 ∈ ℝ+)
5251rpreccld 12075 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+)) → (1 / 𝑦) ∈ ℝ+)
5352rpne0d 12070 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+)) → (1 / 𝑦) ≠ 0)
5453neneqd 2937 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+)) → ¬ (1 / 𝑦) = 0)
5554iffalsed 4241 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+)) → if((1 / 𝑦) = 0, 𝐶, (1 / 𝑦) / 𝑥𝑅) = (1 / 𝑦) / 𝑥𝑅)
56 oveq2 6821 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (1 / 𝑦) → (1 / 𝑥) = (1 / (1 / 𝑦)))
57 rpcnne0 12043 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℝ+ → (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0))
58 recrec 10914 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) → (1 / (1 / 𝑦)) = 𝑦)
5951, 57, 583syl 18 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+)) → (1 / (1 / 𝑦)) = 𝑦)
6056, 59sylan9eqr 2816 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+)) ∧ 𝑥 = (1 / 𝑦)) → (1 / 𝑥) = 𝑦)
6160eqcomd 2766 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+)) ∧ 𝑥 = (1 / 𝑦)) → 𝑦 = (1 / 𝑥))
62 rlimcnp2.s . . . . . . . 8 (𝑦 = (1 / 𝑥) → 𝑆 = 𝑅)
6361, 62syl 17 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+)) ∧ 𝑥 = (1 / 𝑦)) → 𝑆 = 𝑅)
6463eqcomd 2766 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+)) ∧ 𝑥 = (1 / 𝑦)) → 𝑅 = 𝑆)
6552, 64csbied 3701 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+)) → (1 / 𝑦) / 𝑥𝑅 = 𝑆)
6655, 65eqtrd 2794 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+)) → if((1 / 𝑦) = 0, 𝐶, (1 / 𝑦) / 𝑥𝑅) = 𝑆)
6766mpteq2dva 4896 . . 3 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ if((1 / 𝑦) = 0, 𝐶, (1 / 𝑦) / 𝑥𝑅)) = (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆))
6867breq1d 4814 . 2 (𝜑 → ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ if((1 / 𝑦) = 0, 𝐶, (1 / 𝑦) / 𝑥𝑅)) ⇝𝑟 𝐶 ↔ (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆) ⇝𝑟 𝐶))
69 rlimcnp2.a . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ (0[,)+∞))
70 rlimcnp2.0 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ 𝐴)
71 rlimcnp2.c . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
7271ad2antrr 764 . . . . 5 (((𝜑𝑤𝐴) ∧ 𝑤 = 0) → 𝐶 ∈ ℂ)
7369sselda 3744 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑤𝐴) → 𝑤 ∈ (0[,)+∞))
74 0re 10232 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℝ
75 pnfxr 10284 . . . . . . . . . . . . 13 +∞ ∈ ℝ*
76 elico2 12430 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑤 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑤 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑤𝑤 < +∞)))
7774, 75, 76mp2an 710 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑤 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑤𝑤 < +∞))
7873, 77sylib 208 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑤𝐴) → (𝑤 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑤𝑤 < +∞))
7978simp1d 1137 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑤𝐴) → 𝑤 ∈ ℝ)
8079adantr 472 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑤𝐴) ∧ ¬ 𝑤 = 0) → 𝑤 ∈ ℝ)
8178simp2d 1138 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑤𝐴) → 0 ≤ 𝑤)
82 leloe 10316 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑤 ↔ (0 < 𝑤 ∨ 0 = 𝑤)))
8374, 79, 82sylancr 698 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑤𝐴) → (0 ≤ 𝑤 ↔ (0 < 𝑤 ∨ 0 = 𝑤)))
8481, 83mpbid 222 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑤𝐴) → (0 < 𝑤 ∨ 0 = 𝑤))
8584ord 391 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑤𝐴) → (¬ 0 < 𝑤 → 0 = 𝑤))
86 eqcom 2767 . . . . . . . . . . . 12 (0 = 𝑤𝑤 = 0)
8785, 86syl6ib 241 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑤𝐴) → (¬ 0 < 𝑤𝑤 = 0))
8887con1d 139 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑤𝐴) → (¬ 𝑤 = 0 → 0 < 𝑤))
8988imp 444 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑤𝐴) ∧ ¬ 𝑤 = 0) → 0 < 𝑤)
9080, 89elrpd 12062 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑤𝐴) ∧ ¬ 𝑤 = 0) → 𝑤 ∈ ℝ+)
91 rpcnne0 12043 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ ℝ+ → (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0))
92 recrec 10914 . . . . . . . . 9 ((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) → (1 / (1 / 𝑤)) = 𝑤)
9391, 92syl 17 . . . . . . . 8 (𝑤 ∈ ℝ+ → (1 / (1 / 𝑤)) = 𝑤)
9490, 93syl 17 . . . . . . 7 (((𝜑𝑤𝐴) ∧ ¬ 𝑤 = 0) → (1 / (1 / 𝑤)) = 𝑤)
9594csbeq1d 3681 . . . . . 6 (((𝜑𝑤𝐴) ∧ ¬ 𝑤 = 0) → (1 / (1 / 𝑤)) / 𝑥𝑅 = 𝑤 / 𝑥𝑅)
96 oveq2 6821 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (1 / 𝑤) → (1 / 𝑦) = (1 / (1 / 𝑤)))
9796csbeq1d 3681 . . . . . . . 8 (𝑦 = (1 / 𝑤) → (1 / 𝑦) / 𝑥𝑅 = (1 / (1 / 𝑤)) / 𝑥𝑅)
9897eleq1d 2824 . . . . . . 7 (𝑦 = (1 / 𝑤) → ((1 / 𝑦) / 𝑥𝑅 ∈ ℂ ↔ (1 / (1 / 𝑤)) / 𝑥𝑅 ∈ ℂ))
9965, 31eqeltrd 2839 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+)) → (1 / 𝑦) / 𝑥𝑅 ∈ ℂ)
10099ralrimiva 3104 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+)(1 / 𝑦) / 𝑥𝑅 ∈ ℂ)
101100ad2antrr 764 . . . . . . 7 (((𝜑𝑤𝐴) ∧ ¬ 𝑤 = 0) → ∀𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+)(1 / 𝑦) / 𝑥𝑅 ∈ ℂ)
102 simplr 809 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑤𝐴) ∧ ¬ 𝑤 = 0) → 𝑤𝐴)
103 simpll 807 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑤𝐴) ∧ ¬ 𝑤 = 0) → 𝜑)
104 eleq1 2827 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (1 / 𝑤) → (𝑦𝐵 ↔ (1 / 𝑤) ∈ 𝐵))
10596eleq1d 2824 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (1 / 𝑤) → ((1 / 𝑦) ∈ 𝐴 ↔ (1 / (1 / 𝑤)) ∈ 𝐴))
106104, 105bibi12d 334 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (1 / 𝑤) → ((𝑦𝐵 ↔ (1 / 𝑦) ∈ 𝐴) ↔ ((1 / 𝑤) ∈ 𝐵 ↔ (1 / (1 / 𝑤)) ∈ 𝐴)))
107 rlimcnp2.d . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑦𝐵 ↔ (1 / 𝑦) ∈ 𝐴))
108107ralrimiva 3104 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ+ (𝑦𝐵 ↔ (1 / 𝑦) ∈ 𝐴))
109108adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → ∀𝑦 ∈ ℝ+ (𝑦𝐵 ↔ (1 / 𝑦) ∈ 𝐴))
110 rpreccl 12050 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑤) ∈ ℝ+)
111110adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑤) ∈ ℝ+)
112106, 109, 111rspcdva 3455 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → ((1 / 𝑤) ∈ 𝐵 ↔ (1 / (1 / 𝑤)) ∈ 𝐴))
11393adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → (1 / (1 / 𝑤)) = 𝑤)
114113eleq1d 2824 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → ((1 / (1 / 𝑤)) ∈ 𝐴𝑤𝐴))
115112, 114bitr2d 269 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → (𝑤𝐴 ↔ (1 / 𝑤) ∈ 𝐵))
116103, 90, 115syl2anc 696 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑤𝐴) ∧ ¬ 𝑤 = 0) → (𝑤𝐴 ↔ (1 / 𝑤) ∈ 𝐵))
117102, 116mpbid 222 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑤𝐴) ∧ ¬ 𝑤 = 0) → (1 / 𝑤) ∈ 𝐵)
11890rpreccld 12075 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑤𝐴) ∧ ¬ 𝑤 = 0) → (1 / 𝑤) ∈ ℝ+)
119117, 118elind 3941 . . . . . . 7 (((𝜑𝑤𝐴) ∧ ¬ 𝑤 = 0) → (1 / 𝑤) ∈ (𝐵 ∩ ℝ+))
12098, 101, 119rspcdva 3455 . . . . . 6 (((𝜑𝑤𝐴) ∧ ¬ 𝑤 = 0) → (1 / (1 / 𝑤)) / 𝑥𝑅 ∈ ℂ)
12195, 120eqeltrrd 2840 . . . . 5 (((𝜑𝑤𝐴) ∧ ¬ 𝑤 = 0) → 𝑤 / 𝑥𝑅 ∈ ℂ)
12272, 121ifclda 4264 . . . 4 ((𝜑𝑤𝐴) → if(𝑤 = 0, 𝐶, 𝑤 / 𝑥𝑅) ∈ ℂ)
123111biantrud 529 . . . . . 6 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → ((1 / 𝑤) ∈ 𝐵 ↔ ((1 / 𝑤) ∈ 𝐵 ∧ (1 / 𝑤) ∈ ℝ+)))
124115, 123bitrd 268 . . . . 5 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → (𝑤𝐴 ↔ ((1 / 𝑤) ∈ 𝐵 ∧ (1 / 𝑤) ∈ ℝ+)))
125 elin 3939 . . . . 5 ((1 / 𝑤) ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↔ ((1 / 𝑤) ∈ 𝐵 ∧ (1 / 𝑤) ∈ ℝ+))
126124, 125syl6bbr 278 . . . 4 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → (𝑤𝐴 ↔ (1 / 𝑤) ∈ (𝐵 ∩ ℝ+)))
127 iftrue 4236 . . . 4 (𝑤 = 0 → if(𝑤 = 0, 𝐶, 𝑤 / 𝑥𝑅) = 𝐶)
128 eqeq1 2764 . . . . 5 (𝑤 = (1 / 𝑦) → (𝑤 = 0 ↔ (1 / 𝑦) = 0))
129 csbeq1 3677 . . . . 5 (𝑤 = (1 / 𝑦) → 𝑤 / 𝑥𝑅 = (1 / 𝑦) / 𝑥𝑅)
130128, 129ifbieq2d 4255 . . . 4 (𝑤 = (1 / 𝑦) → if(𝑤 = 0, 𝐶, 𝑤 / 𝑥𝑅) = if((1 / 𝑦) = 0, 𝐶, (1 / 𝑦) / 𝑥𝑅))
131 rlimcnp2.j . . . 4 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
132 rlimcnp2.k . . . 4 𝐾 = (𝐽t 𝐴)
13369, 70, 50, 122, 126, 127, 130, 131, 132rlimcnp 24891 . . 3 (𝜑 → ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ if((1 / 𝑦) = 0, 𝐶, (1 / 𝑦) / 𝑥𝑅)) ⇝𝑟 𝐶 ↔ (𝑤𝐴 ↦ if(𝑤 = 0, 𝐶, 𝑤 / 𝑥𝑅)) ∈ ((𝐾 CnP 𝐽)‘0)))
134 nfcv 2902 . . . . 5 𝑤if(𝑥 = 0, 𝐶, 𝑅)
135 nfv 1992 . . . . . 6 𝑥 𝑤 = 0
136 nfcv 2902 . . . . . 6 𝑥𝐶
137 nfcsb1v 3690 . . . . . 6 𝑥𝑤 / 𝑥𝑅
138135, 136, 137nfif 4259 . . . . 5 𝑥if(𝑤 = 0, 𝐶, 𝑤 / 𝑥𝑅)
139 eqeq1 2764 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑤 → (𝑥 = 0 ↔ 𝑤 = 0))
140 csbeq1a 3683 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑤𝑅 = 𝑤 / 𝑥𝑅)
141139, 140ifbieq2d 4255 . . . . 5 (𝑥 = 𝑤 → if(𝑥 = 0, 𝐶, 𝑅) = if(𝑤 = 0, 𝐶, 𝑤 / 𝑥𝑅))
142134, 138, 141cbvmpt 4901 . . . 4 (𝑥𝐴 ↦ if(𝑥 = 0, 𝐶, 𝑅)) = (𝑤𝐴 ↦ if(𝑤 = 0, 𝐶, 𝑤 / 𝑥𝑅))
143142eleq1i 2830 . . 3 ((𝑥𝐴 ↦ if(𝑥 = 0, 𝐶, 𝑅)) ∈ ((𝐾 CnP 𝐽)‘0) ↔ (𝑤𝐴 ↦ if(𝑤 = 0, 𝐶, 𝑤 / 𝑥𝑅)) ∈ ((𝐾 CnP 𝐽)‘0))
144133, 143syl6bbr 278 . 2 (𝜑 → ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ if((1 / 𝑦) = 0, 𝐶, (1 / 𝑦) / 𝑥𝑅)) ⇝𝑟 𝐶 ↔ (𝑥𝐴 ↦ if(𝑥 = 0, 𝐶, 𝑅)) ∈ ((𝐾 CnP 𝐽)‘0)))
14548, 68, 1443bitr2d 296 1 (𝜑 → ((𝑦𝐵𝑆) ⇝𝑟 𝐶 ↔ (𝑥𝐴 ↦ if(𝑥 = 0, 𝐶, 𝑅)) ∈ ((𝐾 CnP 𝐽)‘0)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  wral 3050  csb 3674  cin 3714  wss 3715  ifcif 4230   class class class wbr 4804  cmpt 4881  dom cdm 5266  cres 5268  Rel wrel 5271   Fn wfn 6044  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6813  cc 10126  cr 10127  0cc0 10128  1c1 10129  +∞cpnf 10263  *cxr 10265   < clt 10266  cle 10267   / cdiv 10876  +crp 12025  (,)cioo 12368  [,)cico 12370  𝑟 crli 14415  t crest 16283  TopOpenctopn 16284  fldccnfld 19948   CnP ccnp 21231
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-pm 8026  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-sup 8513  df-inf 8514  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-q 11982  df-rp 12026  df-xneg 12139  df-xadd 12140  df-xmul 12141  df-ioo 12372  df-ico 12374  df-fz 12520  df-seq 12996  df-exp 13055  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-rlim 14419  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-starv 16158  df-tset 16162  df-ple 16163  df-ds 16166  df-unif 16167  df-rest 16285  df-topn 16286  df-topgen 16306  df-psmet 19940  df-xmet 19941  df-met 19942  df-bl 19943  df-mopn 19944  df-cnfld 19949  df-top 20901  df-topon 20918  df-bases 20952  df-cnp 21234
This theorem is referenced by:  rlimcnp3  24893
  Copyright terms: Public domain W3C validator