MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimcnp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rlimcnp 24737
Description: Relate a limit of a real-valued sequence at infinity to the continuity of the function 𝑆(𝑦) = 𝑅(1 / 𝑦) at zero. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimcnp.a (𝜑𝐴 ⊆ (0[,)+∞))
rlimcnp.0 (𝜑 → 0 ∈ 𝐴)
rlimcnp.b (𝜑𝐵 ⊆ ℝ+)
rlimcnp.r ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑅 ∈ ℂ)
rlimcnp.d ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥𝐴 ↔ (1 / 𝑥) ∈ 𝐵))
rlimcnp.c (𝑥 = 0 → 𝑅 = 𝐶)
rlimcnp.s (𝑥 = (1 / 𝑦) → 𝑅 = 𝑆)
rlimcnp.j 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
rlimcnp.k 𝐾 = (𝐽t 𝐴)
Assertion
Ref Expression
rlimcnp (𝜑 → ((𝑦𝐵𝑆) ⇝𝑟 𝐶 ↔ (𝑥𝐴𝑅) ∈ ((𝐾 CnP 𝐽)‘0)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑦,𝑅   𝑥,𝑆
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑦)   𝐽(𝑥,𝑦)   𝐾(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem rlimcnp
Dummy variables 𝑤 𝑟 𝑧 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpreccl 11895 . . . . . . . . 9 (𝑟 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑟) ∈ ℝ+)
21adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑟) ∈ ℝ+)
3 rpreccl 11895 . . . . . . . . . 10 (𝑡 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑡) ∈ ℝ+)
43adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑡) ∈ ℝ+)
5 rpcnne0 11888 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 ∈ ℝ+ → (𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ≠ 0))
65adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ≠ 0))
7 recrec 10760 . . . . . . . . . . 11 ((𝑡 ∈ ℂ ∧ 𝑡 ≠ 0) → (1 / (1 / 𝑡)) = 𝑡)
86, 7syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (1 / (1 / 𝑡)) = 𝑡)
98eqcomd 2657 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → 𝑡 = (1 / (1 / 𝑡)))
10 oveq2 6698 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = (1 / 𝑡) → (1 / 𝑟) = (1 / (1 / 𝑡)))
1110eqeq2d 2661 . . . . . . . . . 10 (𝑟 = (1 / 𝑡) → (𝑡 = (1 / 𝑟) ↔ 𝑡 = (1 / (1 / 𝑡))))
1211rspcev 3340 . . . . . . . . 9 (((1 / 𝑡) ∈ ℝ+𝑡 = (1 / (1 / 𝑡))) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑡 = (1 / 𝑟))
134, 9, 12syl2anc 694 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ 𝑡 = (1 / 𝑟))
14 simpr 476 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 = (1 / 𝑟)) → 𝑡 = (1 / 𝑟))
1514breq1d 4695 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 = (1 / 𝑟)) → (𝑡 < 𝑦 ↔ (1 / 𝑟) < 𝑦))
1615imbi1d 330 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 = (1 / 𝑟)) → ((𝑡 < 𝑦 → (abs‘(𝑆𝐶)) < 𝑧) ↔ ((1 / 𝑟) < 𝑦 → (abs‘(𝑆𝐶)) < 𝑧)))
1716ralbidv 3015 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 = (1 / 𝑟)) → (∀𝑦𝐵 (𝑡 < 𝑦 → (abs‘(𝑆𝐶)) < 𝑧) ↔ ∀𝑦𝐵 ((1 / 𝑟) < 𝑦 → (abs‘(𝑆𝐶)) < 𝑧)))
182, 13, 17rexxfrd 4911 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑡 ∈ ℝ+𝑦𝐵 (𝑡 < 𝑦 → (abs‘(𝑆𝐶)) < 𝑧) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ+𝑦𝐵 ((1 / 𝑟) < 𝑦 → (abs‘(𝑆𝐶)) < 𝑧)))
1918adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ+) → (∃𝑡 ∈ ℝ+𝑦𝐵 (𝑡 < 𝑦 → (abs‘(𝑆𝐶)) < 𝑧) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ+𝑦𝐵 ((1 / 𝑟) < 𝑦 → (abs‘(𝑆𝐶)) < 𝑧)))
20 simplr 807 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑟 ∈ ℝ+)
21 rlimcnp.b . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐵 ⊆ ℝ+)
2221sselda 3636 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦𝐵) → 𝑦 ∈ ℝ+)
2322adantlr 751 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦 ∈ ℝ+)
24 elrp 11872 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑟 ∈ ℝ+ ↔ (𝑟 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑟))
25 elrp 11872 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℝ+ ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑦))
26 ltrec1 10948 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑟 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑟) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑦)) → ((1 / 𝑟) < 𝑦 ↔ (1 / 𝑦) < 𝑟))
2724, 25, 26syl2anb 495 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑟 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+) → ((1 / 𝑟) < 𝑦 ↔ (1 / 𝑦) < 𝑟))
2820, 23, 27syl2anc 694 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐵) → ((1 / 𝑟) < 𝑦 ↔ (1 / 𝑦) < 𝑟))
2928imbi1d 330 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐵) → (((1 / 𝑟) < 𝑦 → (abs‘(𝑆𝐶)) < 𝑧) ↔ ((1 / 𝑦) < 𝑟 → (abs‘(𝑆𝐶)) < 𝑧)))
3029ralbidva 3014 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → (∀𝑦𝐵 ((1 / 𝑟) < 𝑦 → (abs‘(𝑆𝐶)) < 𝑧) ↔ ∀𝑦𝐵 ((1 / 𝑦) < 𝑟 → (abs‘(𝑆𝐶)) < 𝑧)))
3130adantlr 751 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (∀𝑦𝐵 ((1 / 𝑟) < 𝑦 → (abs‘(𝑆𝐶)) < 𝑧) ↔ ∀𝑦𝐵 ((1 / 𝑦) < 𝑟 → (abs‘(𝑆𝐶)) < 𝑧)))
32 rpcn 11879 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℂ)
33 rpne0 11886 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ℝ+𝑦 ≠ 0)
3432, 33recrecd 10836 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℝ+ → (1 / (1 / 𝑦)) = 𝑦)
3522, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦𝐵) → (1 / (1 / 𝑦)) = 𝑦)
36 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦𝐵) → 𝑦𝐵)
3735, 36eqeltrd 2730 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦𝐵) → (1 / (1 / 𝑦)) ∈ 𝐵)
38 rpreccl 11895 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑦) ∈ ℝ+)
3922, 38syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦𝐵) → (1 / 𝑦) ∈ ℝ+)
40 rlimcnp.d . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥𝐴 ↔ (1 / 𝑥) ∈ 𝐵))
4140ralrimiva 2995 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ (𝑥𝐴 ↔ (1 / 𝑥) ∈ 𝐵))
4241adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦𝐵) → ∀𝑥 ∈ ℝ+ (𝑥𝐴 ↔ (1 / 𝑥) ∈ 𝐵))
43 eleq1 2718 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = (1 / 𝑦) → (𝑥𝐴 ↔ (1 / 𝑦) ∈ 𝐴))
44 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = (1 / 𝑦) → (1 / 𝑥) = (1 / (1 / 𝑦)))
4544eleq1d 2715 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = (1 / 𝑦) → ((1 / 𝑥) ∈ 𝐵 ↔ (1 / (1 / 𝑦)) ∈ 𝐵))
4643, 45bibi12d 334 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = (1 / 𝑦) → ((𝑥𝐴 ↔ (1 / 𝑥) ∈ 𝐵) ↔ ((1 / 𝑦) ∈ 𝐴 ↔ (1 / (1 / 𝑦)) ∈ 𝐵)))
4746rspcv 3336 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 / 𝑦) ∈ ℝ+ → (∀𝑥 ∈ ℝ+ (𝑥𝐴 ↔ (1 / 𝑥) ∈ 𝐵) → ((1 / 𝑦) ∈ 𝐴 ↔ (1 / (1 / 𝑦)) ∈ 𝐵)))
4839, 42, 47sylc 65 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦𝐵) → ((1 / 𝑦) ∈ 𝐴 ↔ (1 / (1 / 𝑦)) ∈ 𝐵))
4937, 48mpbird 247 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦𝐵) → (1 / 𝑦) ∈ 𝐴)
5039rpne0d 11915 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦𝐵) → (1 / 𝑦) ≠ 0)
51 eldifsn 4350 . . . . . . . . . . . 12 ((1 / 𝑦) ∈ (𝐴 ∖ {0}) ↔ ((1 / 𝑦) ∈ 𝐴 ∧ (1 / 𝑦) ≠ 0))
5249, 50, 51sylanbrc 699 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝐵) → (1 / 𝑦) ∈ (𝐴 ∖ {0}))
53 eldifi 3765 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {0}) → 𝑥𝐴)
5453adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {0})) → 𝑥𝐴)
55 rge0ssre 12318 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
56 rlimcnp.a . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐴 ⊆ (0[,)+∞))
5756ssdifssd 3781 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐴 ∖ {0}) ⊆ (0[,)+∞))
5857sselda 3636 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {0})) → 𝑥 ∈ (0[,)+∞))
5955, 58sseldi 3634 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {0})) → 𝑥 ∈ ℝ)
60 0re 10078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 ∈ ℝ
61 pnfxr 10130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 +∞ ∈ ℝ*
62 elico2 12275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((0 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥𝑥 < +∞)))
6360, 61, 62mp2an 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥𝑥 < +∞))
6463simp2bi 1097 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ (0[,)+∞) → 0 ≤ 𝑥)
6558, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {0})) → 0 ≤ 𝑥)
66 eldifsni 4353 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {0}) → 𝑥 ≠ 0)
6766adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {0})) → 𝑥 ≠ 0)
6859, 65, 67ne0gt0d 10212 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {0})) → 0 < 𝑥)
6959, 68elrpd 11907 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {0})) → 𝑥 ∈ ℝ+)
7069, 40syldan 486 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {0})) → (𝑥𝐴 ↔ (1 / 𝑥) ∈ 𝐵))
7154, 70mpbid 222 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {0})) → (1 / 𝑥) ∈ 𝐵)
72 rpcn 11879 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℂ)
73 rpne0 11886 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ≠ 0)
7472, 73recrecd 10836 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℝ+ → (1 / (1 / 𝑥)) = 𝑥)
7569, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {0})) → (1 / (1 / 𝑥)) = 𝑥)
7675eqcomd 2657 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {0})) → 𝑥 = (1 / (1 / 𝑥)))
77 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (1 / 𝑥) → (1 / 𝑦) = (1 / (1 / 𝑥)))
7877eqeq2d 2661 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (1 / 𝑥) → (𝑥 = (1 / 𝑦) ↔ 𝑥 = (1 / (1 / 𝑥))))
7978rspcev 3340 . . . . . . . . . . . 12 (((1 / 𝑥) ∈ 𝐵𝑥 = (1 / (1 / 𝑥))) → ∃𝑦𝐵 𝑥 = (1 / 𝑦))
8071, 76, 79syl2anc 694 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {0})) → ∃𝑦𝐵 𝑥 = (1 / 𝑦))
81 breq1 4688 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (1 / 𝑦) → (𝑥 < 𝑟 ↔ (1 / 𝑦) < 𝑟))
82 rlimcnp.s . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = (1 / 𝑦) → 𝑅 = 𝑆)
8382oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = (1 / 𝑦) → (𝑅𝐶) = (𝑆𝐶))
8483fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (1 / 𝑦) → (abs‘(𝑅𝐶)) = (abs‘(𝑆𝐶)))
8584breq1d 4695 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (1 / 𝑦) → ((abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑧 ↔ (abs‘(𝑆𝐶)) < 𝑧))
8681, 85imbi12d 333 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (1 / 𝑦) → ((𝑥 < 𝑟 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑧) ↔ ((1 / 𝑦) < 𝑟 → (abs‘(𝑆𝐶)) < 𝑧)))
8786adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 = (1 / 𝑦)) → ((𝑥 < 𝑟 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑧) ↔ ((1 / 𝑦) < 𝑟 → (abs‘(𝑆𝐶)) < 𝑧)))
8852, 80, 87ralxfrd 4909 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {0})(𝑥 < 𝑟 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑧) ↔ ∀𝑦𝐵 ((1 / 𝑦) < 𝑟 → (abs‘(𝑆𝐶)) < 𝑧)))
8988ad2antrr 762 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (∀𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {0})(𝑥 < 𝑟 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑧) ↔ ∀𝑦𝐵 ((1 / 𝑦) < 𝑟 → (abs‘(𝑆𝐶)) < 𝑧)))
9031, 89bitr4d 271 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (∀𝑦𝐵 ((1 / 𝑟) < 𝑦 → (abs‘(𝑆𝐶)) < 𝑧) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {0})(𝑥 < 𝑟 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑧)))
91 elsni 4227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ {0} → 𝑥 = 0)
9291adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ {0}) → 𝑥 = 0)
93 rlimcnp.c . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 0 → 𝑅 = 𝐶)
9492, 93syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ {0}) → 𝑅 = 𝐶)
9594oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ {0}) → (𝑅𝐶) = (𝐶𝐶))
96 rlimcnp.0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → 0 ∈ 𝐴)
97 rlimcnp.r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑅 ∈ ℂ)
9897ralrimiva 2995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝑅 ∈ ℂ)
9993eleq1d 2715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 0 → (𝑅 ∈ ℂ ↔ 𝐶 ∈ ℂ))
10099rspcv 3336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0 ∈ 𝐴 → (∀𝑥𝐴 𝑅 ∈ ℂ → 𝐶 ∈ ℂ))
10196, 98, 100sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
102101subidd 10418 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐶𝐶) = 0)
103102ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ {0}) → (𝐶𝐶) = 0)
10495, 103eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ {0}) → (𝑅𝐶) = 0)
105104abs00bd 14075 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ {0}) → (abs‘(𝑅𝐶)) = 0)
106 rpgt0 11882 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ ℝ+ → 0 < 𝑧)
107106ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ {0}) → 0 < 𝑧)
108105, 107eqbrtrd 4707 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ {0}) → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑧)
109108a1d 25 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ {0}) → (𝑥 < 𝑟 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑧))
110109ralrimiva 2995 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ+) → ∀𝑥 ∈ {0} (𝑥 < 𝑟 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑧))
111110adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ∀𝑥 ∈ {0} (𝑥 < 𝑟 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑧))
112111biantrud 527 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (∀𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {0})(𝑥 < 𝑟 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑧) ↔ (∀𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {0})(𝑥 < 𝑟 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑧) ∧ ∀𝑥 ∈ {0} (𝑥 < 𝑟 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑧))))
113 ralunb 3827 . . . . . . . . 9 (∀𝑥 ∈ ((𝐴 ∖ {0}) ∪ {0})(𝑥 < 𝑟 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑧) ↔ (∀𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {0})(𝑥 < 𝑟 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑧) ∧ ∀𝑥 ∈ {0} (𝑥 < 𝑟 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑧)))
114112, 113syl6bbr 278 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (∀𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {0})(𝑥 < 𝑟 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑧) ↔ ∀𝑥 ∈ ((𝐴 ∖ {0}) ∪ {0})(𝑥 < 𝑟 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑧)))
115 undif1 4076 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∖ {0}) ∪ {0}) = (𝐴 ∪ {0})
11696ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 0 ∈ 𝐴)
117116snssd 4372 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → {0} ⊆ 𝐴)
118 ssequn2 3819 . . . . . . . . . . 11 ({0} ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∪ {0}) = 𝐴)
119117, 118sylib 208 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝐴 ∪ {0}) = 𝐴)
120115, 119syl5eq 2697 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝐴 ∖ {0}) ∪ {0}) = 𝐴)
121120raleqdv 3174 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (∀𝑥 ∈ ((𝐴 ∖ {0}) ∪ {0})(𝑥 < 𝑟 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑧) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝑥 < 𝑟 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑧)))
12290, 114, 1213bitrd 294 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (∀𝑦𝐵 ((1 / 𝑟) < 𝑦 → (abs‘(𝑆𝐶)) < 𝑧) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝑥 < 𝑟 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑧)))
123122rexbidva 3078 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ+) → (∃𝑟 ∈ ℝ+𝑦𝐵 ((1 / 𝑟) < 𝑦 → (abs‘(𝑆𝐶)) < 𝑧) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ+𝑥𝐴 (𝑥 < 𝑟 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑧)))
12419, 123bitrd 268 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ+) → (∃𝑡 ∈ ℝ+𝑦𝐵 (𝑡 < 𝑦 → (abs‘(𝑆𝐶)) < 𝑧) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ+𝑥𝐴 (𝑥 < 𝑟 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑧)))
125124ralbidva 3014 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑧 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ+𝑦𝐵 (𝑡 < 𝑦 → (abs‘(𝑆𝐶)) < 𝑧) ↔ ∀𝑧 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ+𝑥𝐴 (𝑥 < 𝑟 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑧)))
126 nfv 1883 . . . . . . . . 9 𝑥(𝑤((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))0) < 𝑟
127 nffvmpt1 6237 . . . . . . . . . . 11 𝑥((𝑥𝐴𝑅)‘𝑤)
128 nfcv 2793 . . . . . . . . . . 11 𝑥(abs ∘ − )
129 nffvmpt1 6237 . . . . . . . . . . 11 𝑥((𝑥𝐴𝑅)‘0)
130127, 128, 129nfov 6716 . . . . . . . . . 10 𝑥(((𝑥𝐴𝑅)‘𝑤)(abs ∘ − )((𝑥𝐴𝑅)‘0))
131 nfcv 2793 . . . . . . . . . 10 𝑥 <
132 nfcv 2793 . . . . . . . . . 10 𝑥𝑧
133130, 131, 132nfbr 4732 . . . . . . . . 9 𝑥(((𝑥𝐴𝑅)‘𝑤)(abs ∘ − )((𝑥𝐴𝑅)‘0)) < 𝑧
134126, 133nfim 1865 . . . . . . . 8 𝑥((𝑤((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))0) < 𝑟 → (((𝑥𝐴𝑅)‘𝑤)(abs ∘ − )((𝑥𝐴𝑅)‘0)) < 𝑧)
135 nfv 1883 . . . . . . . 8 𝑤((𝑥((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))0) < 𝑟 → (((𝑥𝐴𝑅)‘𝑥)(abs ∘ − )((𝑥𝐴𝑅)‘0)) < 𝑧)
136 oveq1 6697 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑥 → (𝑤((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))0) = (𝑥((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))0))
137136breq1d 4695 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑥 → ((𝑤((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))0) < 𝑟 ↔ (𝑥((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))0) < 𝑟))
138 fveq2 6229 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = 𝑥 → ((𝑥𝐴𝑅)‘𝑤) = ((𝑥𝐴𝑅)‘𝑥))
139138oveq1d 6705 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑥 → (((𝑥𝐴𝑅)‘𝑤)(abs ∘ − )((𝑥𝐴𝑅)‘0)) = (((𝑥𝐴𝑅)‘𝑥)(abs ∘ − )((𝑥𝐴𝑅)‘0)))
140139breq1d 4695 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑥 → ((((𝑥𝐴𝑅)‘𝑤)(abs ∘ − )((𝑥𝐴𝑅)‘0)) < 𝑧 ↔ (((𝑥𝐴𝑅)‘𝑥)(abs ∘ − )((𝑥𝐴𝑅)‘0)) < 𝑧))
141137, 140imbi12d 333 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑥 → (((𝑤((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))0) < 𝑟 → (((𝑥𝐴𝑅)‘𝑤)(abs ∘ − )((𝑥𝐴𝑅)‘0)) < 𝑧) ↔ ((𝑥((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))0) < 𝑟 → (((𝑥𝐴𝑅)‘𝑥)(abs ∘ − )((𝑥𝐴𝑅)‘0)) < 𝑧)))
142134, 135, 141cbvral 3197 . . . . . . 7 (∀𝑤𝐴 ((𝑤((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))0) < 𝑟 → (((𝑥𝐴𝑅)‘𝑤)(abs ∘ − )((𝑥𝐴𝑅)‘0)) < 𝑧) ↔ ∀𝑥𝐴 ((𝑥((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))0) < 𝑟 → (((𝑥𝐴𝑅)‘𝑥)(abs ∘ − )((𝑥𝐴𝑅)‘0)) < 𝑧))
143 simpr 476 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
14496adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ∈ 𝐴)
145143, 144ovresd 6843 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑥((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))0) = (𝑥(abs ∘ − )0))
14656, 55syl6ss 3648 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
147 ax-resscn 10031 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℝ ⊆ ℂ
148146, 147syl6ss 3648 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
149148sselda 3636 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℂ)
150 0cnd 10071 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ∈ ℂ)
151 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . 14 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
152151cnmetdval 22621 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → (𝑥(abs ∘ − )0) = (abs‘(𝑥 − 0)))
153149, 150, 152syl2anc 694 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑥(abs ∘ − )0) = (abs‘(𝑥 − 0)))
154149subid1d 10419 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑥 − 0) = 𝑥)
155154fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘(𝑥 − 0)) = (abs‘𝑥))
156145, 153, 1553eqtrd 2689 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑥((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))0) = (abs‘𝑥))
157146sselda 3636 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
15856sselda 3636 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ (0[,)+∞))
159158, 64syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ≤ 𝑥)
160157, 159absidd 14205 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → (abs‘𝑥) = 𝑥)
161156, 160eqtrd 2685 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑥((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))0) = 𝑥)
162161breq1d 4695 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝑥((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))0) < 𝑟𝑥 < 𝑟))
163 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝐴𝑅) = (𝑥𝐴𝑅)
164163fvmpt2 6330 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥𝐴𝑅 ∈ ℂ) → ((𝑥𝐴𝑅)‘𝑥) = 𝑅)
165143, 97, 164syl2anc 694 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝑥𝐴𝑅)‘𝑥) = 𝑅)
166101adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
16793, 163fvmptg 6319 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ 𝐴𝐶 ∈ ℂ) → ((𝑥𝐴𝑅)‘0) = 𝐶)
168144, 166, 167syl2anc 694 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝑥𝐴𝑅)‘0) = 𝐶)
169165, 168oveq12d 6708 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → (((𝑥𝐴𝑅)‘𝑥)(abs ∘ − )((𝑥𝐴𝑅)‘0)) = (𝑅(abs ∘ − )𝐶))
170151cnmetdval 22621 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝑅(abs ∘ − )𝐶) = (abs‘(𝑅𝐶)))
17197, 166, 170syl2anc 694 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑅(abs ∘ − )𝐶) = (abs‘(𝑅𝐶)))
172169, 171eqtrd 2685 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → (((𝑥𝐴𝑅)‘𝑥)(abs ∘ − )((𝑥𝐴𝑅)‘0)) = (abs‘(𝑅𝐶)))
173172breq1d 4695 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → ((((𝑥𝐴𝑅)‘𝑥)(abs ∘ − )((𝑥𝐴𝑅)‘0)) < 𝑧 ↔ (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑧))
174162, 173imbi12d 333 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → (((𝑥((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))0) < 𝑟 → (((𝑥𝐴𝑅)‘𝑥)(abs ∘ − )((𝑥𝐴𝑅)‘0)) < 𝑧) ↔ (𝑥 < 𝑟 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑧)))
175174ralbidva 3014 . . . . . . 7 (𝜑 → (∀𝑥𝐴 ((𝑥((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))0) < 𝑟 → (((𝑥𝐴𝑅)‘𝑥)(abs ∘ − )((𝑥𝐴𝑅)‘0)) < 𝑧) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝑥 < 𝑟 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑧)))
176142, 175syl5bb 272 . . . . . 6 (𝜑 → (∀𝑤𝐴 ((𝑤((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))0) < 𝑟 → (((𝑥𝐴𝑅)‘𝑤)(abs ∘ − )((𝑥𝐴𝑅)‘0)) < 𝑧) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝑥 < 𝑟 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑧)))
177176rexbidv 3081 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑟 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))0) < 𝑟 → (((𝑥𝐴𝑅)‘𝑤)(abs ∘ − )((𝑥𝐴𝑅)‘0)) < 𝑧) ↔ ∃𝑟 ∈ ℝ+𝑥𝐴 (𝑥 < 𝑟 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑧)))
178177ralbidv 3015 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑧 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))0) < 𝑟 → (((𝑥𝐴𝑅)‘𝑤)(abs ∘ − )((𝑥𝐴𝑅)‘0)) < 𝑧) ↔ ∀𝑧 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ+𝑥𝐴 (𝑥 < 𝑟 → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑧)))
17997, 163fmptd 6425 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴𝑅):𝐴⟶ℂ)
180179biantrurd 528 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑧 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))0) < 𝑟 → (((𝑥𝐴𝑅)‘𝑤)(abs ∘ − )((𝑥𝐴𝑅)‘0)) < 𝑧) ↔ ((𝑥𝐴𝑅):𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))0) < 𝑟 → (((𝑥𝐴𝑅)‘𝑤)(abs ∘ − )((𝑥𝐴𝑅)‘0)) < 𝑧))))
181125, 178, 1803bitr2d 296 . . 3 (𝜑 → (∀𝑧 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ+𝑦𝐵 (𝑡 < 𝑦 → (abs‘(𝑆𝐶)) < 𝑧) ↔ ((𝑥𝐴𝑅):𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))0) < 𝑟 → (((𝑥𝐴𝑅)‘𝑤)(abs ∘ − )((𝑥𝐴𝑅)‘0)) < 𝑧))))
18298adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝐵) → ∀𝑥𝐴 𝑅 ∈ ℂ)
18382eleq1d 2715 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (1 / 𝑦) → (𝑅 ∈ ℂ ↔ 𝑆 ∈ ℂ))
184183rspcv 3336 . . . . . . . 8 ((1 / 𝑦) ∈ 𝐴 → (∀𝑥𝐴 𝑅 ∈ ℂ → 𝑆 ∈ ℂ))
18549, 182, 184sylc 65 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝐵) → 𝑆 ∈ ℂ)
186185ralrimiva 2995 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑦𝐵 𝑆 ∈ ℂ)
187 rpssre 11881 . . . . . . 7 + ⊆ ℝ
18821, 187syl6ss 3648 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ⊆ ℝ)
189 1red 10093 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
190186, 188, 101, 189rlim3 14273 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑦𝐵𝑆) ⇝𝑟 𝐶 ↔ ∀𝑧 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (1[,)+∞)∀𝑦𝐵 (𝑡𝑦 → (abs‘(𝑆𝐶)) < 𝑧)))
191 0xr 10124 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ*
192 0lt1 10588 . . . . . . . . . 10 0 < 1
193 df-ioo 12217 . . . . . . . . . . 11 (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧 < 𝑦)})
194 df-ico 12219 . . . . . . . . . . 11 [,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)})
195 xrltletr 12026 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝑤) → 0 < 𝑤))
196193, 194, 195ixxss1 12231 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ* ∧ 0 < 1) → (1[,)+∞) ⊆ (0(,)+∞))
197191, 192, 196mp2an 708 . . . . . . . . 9 (1[,)+∞) ⊆ (0(,)+∞)
198 ioorp 12289 . . . . . . . . 9 (0(,)+∞) = ℝ+
199197, 198sseqtri 3670 . . . . . . . 8 (1[,)+∞) ⊆ ℝ+
200 ssrexv 3700 . . . . . . . 8 ((1[,)+∞) ⊆ ℝ+ → (∃𝑡 ∈ (1[,)+∞)∀𝑦𝐵 (𝑡𝑦 → (abs‘(𝑆𝐶)) < 𝑧) → ∃𝑡 ∈ ℝ+𝑦𝐵 (𝑡𝑦 → (abs‘(𝑆𝐶)) < 𝑧)))
201199, 200ax-mp 5 . . . . . . 7 (∃𝑡 ∈ (1[,)+∞)∀𝑦𝐵 (𝑡𝑦 → (abs‘(𝑆𝐶)) < 𝑧) → ∃𝑡 ∈ ℝ+𝑦𝐵 (𝑡𝑦 → (abs‘(𝑆𝐶)) < 𝑧))
202 simplr 807 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑡 ∈ ℝ+)
203187, 202sseldi 3634 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑡 ∈ ℝ)
204188adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → 𝐵 ⊆ ℝ)
205204sselda 3636 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦 ∈ ℝ)
206 ltle 10164 . . . . . . . . . . 11 ((𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑡 < 𝑦𝑡𝑦))
207203, 205, 206syl2anc 694 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑡 < 𝑦𝑡𝑦))
208207imim1d 82 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐵) → ((𝑡𝑦 → (abs‘(𝑆𝐶)) < 𝑧) → (𝑡 < 𝑦 → (abs‘(𝑆𝐶)) < 𝑧)))
209208ralimdva 2991 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (∀𝑦𝐵 (𝑡𝑦 → (abs‘(𝑆𝐶)) < 𝑧) → ∀𝑦𝐵 (𝑡 < 𝑦 → (abs‘(𝑆𝐶)) < 𝑧)))
210209reximdva 3046 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑡 ∈ ℝ+𝑦𝐵 (𝑡𝑦 → (abs‘(𝑆𝐶)) < 𝑧) → ∃𝑡 ∈ ℝ+𝑦𝐵 (𝑡 < 𝑦 → (abs‘(𝑆𝐶)) < 𝑧)))
211201, 210syl5 34 . . . . . 6 (𝜑 → (∃𝑡 ∈ (1[,)+∞)∀𝑦𝐵 (𝑡𝑦 → (abs‘(𝑆𝐶)) < 𝑧) → ∃𝑡 ∈ ℝ+𝑦𝐵 (𝑡 < 𝑦 → (abs‘(𝑆𝐶)) < 𝑧)))
212211ralimdv 2992 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑧 ∈ ℝ+𝑡 ∈ (1[,)+∞)∀𝑦𝐵 (𝑡𝑦 → (abs‘(𝑆𝐶)) < 𝑧) → ∀𝑧 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ+𝑦𝐵 (𝑡 < 𝑦 → (abs‘(𝑆𝐶)) < 𝑧)))
213190, 212sylbid 230 . . . 4 (𝜑 → ((𝑦𝐵𝑆) ⇝𝑟 𝐶 → ∀𝑧 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ+𝑦𝐵 (𝑡 < 𝑦 → (abs‘(𝑆𝐶)) < 𝑧)))
214 ssrexv 3700 . . . . . . 7 (ℝ+ ⊆ ℝ → (∃𝑡 ∈ ℝ+𝑦𝐵 (𝑡 < 𝑦 → (abs‘(𝑆𝐶)) < 𝑧) → ∃𝑡 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 (𝑡 < 𝑦 → (abs‘(𝑆𝐶)) < 𝑧)))
215187, 214ax-mp 5 . . . . . 6 (∃𝑡 ∈ ℝ+𝑦𝐵 (𝑡 < 𝑦 → (abs‘(𝑆𝐶)) < 𝑧) → ∃𝑡 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 (𝑡 < 𝑦 → (abs‘(𝑆𝐶)) < 𝑧))
216215ralimi 2981 . . . . 5 (∀𝑧 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ+𝑦𝐵 (𝑡 < 𝑦 → (abs‘(𝑆𝐶)) < 𝑧) → ∀𝑧 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 (𝑡 < 𝑦 → (abs‘(𝑆𝐶)) < 𝑧))
217186, 188, 101rlim2lt 14272 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑦𝐵𝑆) ⇝𝑟 𝐶 ↔ ∀𝑧 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 (𝑡 < 𝑦 → (abs‘(𝑆𝐶)) < 𝑧)))
218216, 217syl5ibr 236 . . . 4 (𝜑 → (∀𝑧 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ+𝑦𝐵 (𝑡 < 𝑦 → (abs‘(𝑆𝐶)) < 𝑧) → (𝑦𝐵𝑆) ⇝𝑟 𝐶))
219213, 218impbid 202 . . 3 (𝜑 → ((𝑦𝐵𝑆) ⇝𝑟 𝐶 ↔ ∀𝑧 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ+𝑦𝐵 (𝑡 < 𝑦 → (abs‘(𝑆𝐶)) < 𝑧)))
220 cnxmet 22623 . . . . 5 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
221 xmetres2 22213 . . . . 5 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐴 ⊆ ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴)) ∈ (∞Met‘𝐴))
222220, 148, 221sylancr 696 . . . 4 (𝜑 → ((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴)) ∈ (∞Met‘𝐴))
223220a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
224 eqid 2651 . . . . 5 (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴)))
225 rlimcnp.j . . . . . 6 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
226225cnfldtopn 22632 . . . . 5 𝐽 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
227224, 226metcnp2 22394 . . . 4 ((((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴)) ∈ (∞Met‘𝐴) ∧ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 0 ∈ 𝐴) → ((𝑥𝐴𝑅) ∈ (((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))) CnP 𝐽)‘0) ↔ ((𝑥𝐴𝑅):𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))0) < 𝑟 → (((𝑥𝐴𝑅)‘𝑤)(abs ∘ − )((𝑥𝐴𝑅)‘0)) < 𝑧))))
228222, 223, 96, 227syl3anc 1366 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝑅) ∈ (((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))) CnP 𝐽)‘0) ↔ ((𝑥𝐴𝑅):𝐴⟶ℂ ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((𝑤((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))0) < 𝑟 → (((𝑥𝐴𝑅)‘𝑤)(abs ∘ − )((𝑥𝐴𝑅)‘0)) < 𝑧))))
229181, 219, 2283bitr4d 300 . 2 (𝜑 → ((𝑦𝐵𝑆) ⇝𝑟 𝐶 ↔ (𝑥𝐴𝑅) ∈ (((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))) CnP 𝐽)‘0)))
230 rlimcnp.k . . . . . 6 𝐾 = (𝐽t 𝐴)
231 eqid 2651 . . . . . . . 8 ((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴)) = ((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))
232231, 226, 224metrest 22376 . . . . . . 7 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐴 ⊆ ℂ) → (𝐽t 𝐴) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))))
233220, 148, 232sylancr 696 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐽t 𝐴) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))))
234230, 233syl5eq 2697 . . . . 5 (𝜑𝐾 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))))
235234oveq1d 6705 . . . 4 (𝜑 → (𝐾 CnP 𝐽) = ((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))) CnP 𝐽))
236235fveq1d 6231 . . 3 (𝜑 → ((𝐾 CnP 𝐽)‘0) = (((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))) CnP 𝐽)‘0))
237236eleq2d 2716 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝑅) ∈ ((𝐾 CnP 𝐽)‘0) ↔ (𝑥𝐴𝑅) ∈ (((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐴 × 𝐴))) CnP 𝐽)‘0)))
238229, 237bitr4d 271 1 (𝜑 → ((𝑦𝐵𝑆) ⇝𝑟 𝐶 ↔ (𝑥𝐴𝑅) ∈ ((𝐾 CnP 𝐽)‘0)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  cdif 3604  cun 3605  wss 3607  {csn 4210   class class class wbr 4685  cmpt 4762   × cxp 5141  cres 5145  ccom 5147  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975  +∞cpnf 10109  *cxr 10111   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304   / cdiv 10722  +crp 11870  (,)cioo 12213  [,)cico 12215  abscabs 14018  𝑟 crli 14260  t crest 16128  TopOpenctopn 16129  ∞Metcxmt 19779  MetOpencmopn 19784  fldccnfld 19794   CnP ccnp 21077
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ico 12219  df-fz 12365  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-rlim 14264  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-rest 16130  df-topn 16131  df-topgen 16151  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-bases 20798  df-cnp 21080
This theorem is referenced by:  rlimcnp2  24738
  Copyright terms: Public domain W3C validator