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Theorem rlimcn2 14271
Description: Image of a limit under a continuous map, two-arg version. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimcn2.1a ((𝜑𝑧𝐴) → 𝐵𝑋)
rlimcn2.1b ((𝜑𝑧𝐴) → 𝐶𝑌)
rlimcn2.2a (𝜑𝑅𝑋)
rlimcn2.2b (𝜑𝑆𝑌)
rlimcn2.3a (𝜑 → (𝑧𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝑅)
rlimcn2.3b (𝜑 → (𝑧𝐴𝐶) ⇝𝑟 𝑆)
rlimcn2.4 (𝜑𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶ℂ)
rlimcn2.5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+𝑢𝑋𝑣𝑌 (((abs‘(𝑢𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝑣𝑆)) < 𝑠) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥))
Assertion
Ref Expression
rlimcn2 (𝜑 → (𝑧𝐴 ↦ (𝐵𝐹𝐶)) ⇝𝑟 (𝑅𝐹𝑆))
Distinct variable groups:   𝑠,𝑟,𝑥,𝑧,𝐴   𝑢,𝑟,𝑣,𝐹,𝑠,𝑥,𝑧   𝑅,𝑟,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝐵,𝑟,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥   𝜑,𝑟,𝑠,𝑥,𝑧   𝑆,𝑟,𝑠,𝑢,𝑣,𝑥,𝑧   𝐶,𝑟,𝑠,𝑣,𝑥   𝑢,𝑋,𝑧   𝑢,𝑌,𝑣,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑣,𝑢)   𝐴(𝑣,𝑢)   𝐵(𝑧)   𝐶(𝑧,𝑢)   𝑋(𝑥,𝑣,𝑠,𝑟)   𝑌(𝑥,𝑠,𝑟)

Proof of Theorem rlimcn2
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rlimcn2.5 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+𝑢𝑋𝑣𝑌 (((abs‘(𝑢𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝑣𝑆)) < 𝑠) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥))
2 rlimcn2.1a . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧𝐴) → 𝐵𝑋)
32ralrimiva 2962 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑧𝐴 𝐵𝑋)
43adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+)) → ∀𝑧𝐴 𝐵𝑋)
5 simprl 793 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+)) → 𝑟 ∈ ℝ+)
6 rlimcn2.3a . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑧𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝑅)
76adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+)) → (𝑧𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝑅)
84, 5, 7rlimi 14194 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+)) → ∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑎𝑧 → (abs‘(𝐵𝑅)) < 𝑟))
9 rlimcn2.1b . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧𝐴) → 𝐶𝑌)
109ralrimiva 2962 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑧𝐴 𝐶𝑌)
1110adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+)) → ∀𝑧𝐴 𝐶𝑌)
12 simprr 795 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+)) → 𝑠 ∈ ℝ+)
13 rlimcn2.3b . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑧𝐴𝐶) ⇝𝑟 𝑆)
1413adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+)) → (𝑧𝐴𝐶) ⇝𝑟 𝑆)
1511, 12, 14rlimi 14194 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+)) → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑏𝑧 → (abs‘(𝐶𝑆)) < 𝑠))
16 reeanv 3101 . . . . . . . 8 (∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ (∀𝑧𝐴 (𝑎𝑧 → (abs‘(𝐵𝑅)) < 𝑟) ∧ ∀𝑧𝐴 (𝑏𝑧 → (abs‘(𝐶𝑆)) < 𝑠)) ↔ (∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑎𝑧 → (abs‘(𝐵𝑅)) < 𝑟) ∧ ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑏𝑧 → (abs‘(𝐶𝑆)) < 𝑠)))
17 r19.26 3059 . . . . . . . . . 10 (∀𝑧𝐴 ((𝑎𝑧 → (abs‘(𝐵𝑅)) < 𝑟) ∧ (𝑏𝑧 → (abs‘(𝐶𝑆)) < 𝑠)) ↔ (∀𝑧𝐴 (𝑎𝑧 → (abs‘(𝐵𝑅)) < 𝑟) ∧ ∀𝑧𝐴 (𝑏𝑧 → (abs‘(𝐶𝑆)) < 𝑠)))
18 prth 594 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑎𝑧 → (abs‘(𝐵𝑅)) < 𝑟) ∧ (𝑏𝑧 → (abs‘(𝐶𝑆)) < 𝑠)) → ((𝑎𝑧𝑏𝑧) → ((abs‘(𝐵𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝐶𝑆)) < 𝑠)))
19 simplrl 799 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑎 ∈ ℝ)
20 simplrr 800 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑏 ∈ ℝ)
21 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧𝐴𝐵) = (𝑧𝐴𝐵)
2221, 2dmmptd 5991 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → dom (𝑧𝐴𝐵) = 𝐴)
23 rlimss 14183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑧𝐴𝐵) ⇝𝑟 𝑅 → dom (𝑧𝐴𝐵) ⊆ ℝ)
246, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → dom (𝑧𝐴𝐵) ⊆ ℝ)
2522, 24eqsstr3d 3625 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
2625ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
2726sselda 3588 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑧 ∈ ℝ)
28 maxle 11981 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (if(𝑎𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 ↔ (𝑎𝑧𝑏𝑧)))
2919, 20, 27, 28syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧𝐴) → (if(𝑎𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 ↔ (𝑎𝑧𝑏𝑧)))
3029imbi1d 331 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧𝐴) → ((if(𝑎𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 → ((abs‘(𝐵𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝐶𝑆)) < 𝑠)) ↔ ((𝑎𝑧𝑏𝑧) → ((abs‘(𝐵𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝐶𝑆)) < 𝑠))))
3118, 30syl5ibr 236 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧𝐴) → (((𝑎𝑧 → (abs‘(𝐵𝑅)) < 𝑟) ∧ (𝑏𝑧 → (abs‘(𝐶𝑆)) < 𝑠)) → (if(𝑎𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 → ((abs‘(𝐵𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝐶𝑆)) < 𝑠))))
3231ralimdva 2958 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) → (∀𝑧𝐴 ((𝑎𝑧 → (abs‘(𝐵𝑅)) < 𝑟) ∧ (𝑏𝑧 → (abs‘(𝐶𝑆)) < 𝑠)) → ∀𝑧𝐴 (if(𝑎𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 → ((abs‘(𝐵𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝐶𝑆)) < 𝑠))))
33 ifcl 4108 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → if(𝑎𝑏, 𝑏, 𝑎) ∈ ℝ)
3433ancoms 469 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → if(𝑎𝑏, 𝑏, 𝑎) ∈ ℝ)
3534ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ ∀𝑢𝑋𝑣𝑌 (((abs‘(𝑢𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝑣𝑆)) < 𝑠) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥)) → if(𝑎𝑏, 𝑏, 𝑎) ∈ ℝ)
362adantlr 750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧𝐴) → 𝐵𝑋)
379adantlr 750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧𝐴) → 𝐶𝑌)
3836, 37jca 554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧𝐴) → (𝐵𝑋𝐶𝑌))
39 oveq1 6622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑢 = 𝐵 → (𝑢𝑅) = (𝐵𝑅))
4039fveq2d 6162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑢 = 𝐵 → (abs‘(𝑢𝑅)) = (abs‘(𝐵𝑅)))
4140breq1d 4633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑢 = 𝐵 → ((abs‘(𝑢𝑅)) < 𝑟 ↔ (abs‘(𝐵𝑅)) < 𝑟))
4241anbi1d 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑢 = 𝐵 → (((abs‘(𝑢𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝑣𝑆)) < 𝑠) ↔ ((abs‘(𝐵𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝑣𝑆)) < 𝑠)))
43 oveq1 6622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑢 = 𝐵 → (𝑢𝐹𝑣) = (𝐵𝐹𝑣))
4443oveq1d 6630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑢 = 𝐵 → ((𝑢𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆)) = ((𝐵𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆)))
4544fveq2d 6162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑢 = 𝐵 → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) = (abs‘((𝐵𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))))
4645breq1d 4633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑢 = 𝐵 → ((abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐵𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥))
4742, 46imbi12d 334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑢 = 𝐵 → ((((abs‘(𝑢𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝑣𝑆)) < 𝑠) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥) ↔ (((abs‘(𝐵𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝑣𝑆)) < 𝑠) → (abs‘((𝐵𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥)))
48 oveq1 6622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑣 = 𝐶 → (𝑣𝑆) = (𝐶𝑆))
4948fveq2d 6162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑣 = 𝐶 → (abs‘(𝑣𝑆)) = (abs‘(𝐶𝑆)))
5049breq1d 4633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑣 = 𝐶 → ((abs‘(𝑣𝑆)) < 𝑠 ↔ (abs‘(𝐶𝑆)) < 𝑠))
5150anbi2d 739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑣 = 𝐶 → (((abs‘(𝐵𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝑣𝑆)) < 𝑠) ↔ ((abs‘(𝐵𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝐶𝑆)) < 𝑠)))
52 oveq2 6623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑣 = 𝐶 → (𝐵𝐹𝑣) = (𝐵𝐹𝐶))
5352oveq1d 6630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑣 = 𝐶 → ((𝐵𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆)) = ((𝐵𝐹𝐶) − (𝑅𝐹𝑆)))
5453fveq2d 6162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑣 = 𝐶 → (abs‘((𝐵𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) = (abs‘((𝐵𝐹𝐶) − (𝑅𝐹𝑆))))
5554breq1d 4633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑣 = 𝐶 → ((abs‘((𝐵𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥 ↔ (abs‘((𝐵𝐹𝐶) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥))
5651, 55imbi12d 334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑣 = 𝐶 → ((((abs‘(𝐵𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝑣𝑆)) < 𝑠) → (abs‘((𝐵𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥) ↔ (((abs‘(𝐵𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝐶𝑆)) < 𝑠) → (abs‘((𝐵𝐹𝐶) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥)))
5747, 56rspc2va 3312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐵𝑋𝐶𝑌) ∧ ∀𝑢𝑋𝑣𝑌 (((abs‘(𝑢𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝑣𝑆)) < 𝑠) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥)) → (((abs‘(𝐵𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝐶𝑆)) < 𝑠) → (abs‘((𝐵𝐹𝐶) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥))
5838, 57sylan 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧𝐴) ∧ ∀𝑢𝑋𝑣𝑌 (((abs‘(𝑢𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝑣𝑆)) < 𝑠) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥)) → (((abs‘(𝐵𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝐶𝑆)) < 𝑠) → (abs‘((𝐵𝐹𝐶) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥))
5958imim2d 57 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑧𝐴) ∧ ∀𝑢𝑋𝑣𝑌 (((abs‘(𝑢𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝑣𝑆)) < 𝑠) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥)) → ((if(𝑎𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 → ((abs‘(𝐵𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝐶𝑆)) < 𝑠)) → (if(𝑎𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐵𝐹𝐶) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥)))
6059an32s 845 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢𝑋𝑣𝑌 (((abs‘(𝑢𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝑣𝑆)) < 𝑠) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥)) ∧ 𝑧𝐴) → ((if(𝑎𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 → ((abs‘(𝐵𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝐶𝑆)) < 𝑠)) → (if(𝑎𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐵𝐹𝐶) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥)))
6160ralimdva 2958 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ ∀𝑢𝑋𝑣𝑌 (((abs‘(𝑢𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝑣𝑆)) < 𝑠) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥)) → (∀𝑧𝐴 (if(𝑎𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 → ((abs‘(𝐵𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝐶𝑆)) < 𝑠)) → ∀𝑧𝐴 (if(𝑎𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐵𝐹𝐶) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥)))
6261adantlr 750 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ ∀𝑢𝑋𝑣𝑌 (((abs‘(𝑢𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝑣𝑆)) < 𝑠) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥)) → (∀𝑧𝐴 (if(𝑎𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 → ((abs‘(𝐵𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝐶𝑆)) < 𝑠)) → ∀𝑧𝐴 (if(𝑎𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐵𝐹𝐶) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥)))
63 breq1 4626 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑐 = if(𝑎𝑏, 𝑏, 𝑎) → (𝑐𝑧 ↔ if(𝑎𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧))
6463imbi1d 331 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐 = if(𝑎𝑏, 𝑏, 𝑎) → ((𝑐𝑧 → (abs‘((𝐵𝐹𝐶) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥) ↔ (if(𝑎𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐵𝐹𝐶) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥)))
6564ralbidv 2982 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐 = if(𝑎𝑏, 𝑏, 𝑎) → (∀𝑧𝐴 (𝑐𝑧 → (abs‘((𝐵𝐹𝐶) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥) ↔ ∀𝑧𝐴 (if(𝑎𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐵𝐹𝐶) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥)))
6665rspcev 3299 . . . . . . . . . . . . . 14 ((if(𝑎𝑏, 𝑏, 𝑎) ∈ ℝ ∧ ∀𝑧𝐴 (if(𝑎𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 → (abs‘((𝐵𝐹𝐶) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥)) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑐𝑧 → (abs‘((𝐵𝐹𝐶) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥))
6735, 62, 66syl6an 567 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) ∧ ∀𝑢𝑋𝑣𝑌 (((abs‘(𝑢𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝑣𝑆)) < 𝑠) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥)) → (∀𝑧𝐴 (if(𝑎𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 → ((abs‘(𝐵𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝐶𝑆)) < 𝑠)) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑐𝑧 → (abs‘((𝐵𝐹𝐶) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥)))
6867ex 450 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) → (∀𝑢𝑋𝑣𝑌 (((abs‘(𝑢𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝑣𝑆)) < 𝑠) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥) → (∀𝑧𝐴 (if(𝑎𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 → ((abs‘(𝐵𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝐶𝑆)) < 𝑠)) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑐𝑧 → (abs‘((𝐵𝐹𝐶) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥))))
6968com23 86 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) → (∀𝑧𝐴 (if(𝑎𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑧 → ((abs‘(𝐵𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝐶𝑆)) < 𝑠)) → (∀𝑢𝑋𝑣𝑌 (((abs‘(𝑢𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝑣𝑆)) < 𝑠) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑐𝑧 → (abs‘((𝐵𝐹𝐶) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥))))
7032, 69syld 47 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) → (∀𝑧𝐴 ((𝑎𝑧 → (abs‘(𝐵𝑅)) < 𝑟) ∧ (𝑏𝑧 → (abs‘(𝐶𝑆)) < 𝑠)) → (∀𝑢𝑋𝑣𝑌 (((abs‘(𝑢𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝑣𝑆)) < 𝑠) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑐𝑧 → (abs‘((𝐵𝐹𝐶) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥))))
7117, 70syl5bir 233 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)) → ((∀𝑧𝐴 (𝑎𝑧 → (abs‘(𝐵𝑅)) < 𝑟) ∧ ∀𝑧𝐴 (𝑏𝑧 → (abs‘(𝐶𝑆)) < 𝑠)) → (∀𝑢𝑋𝑣𝑌 (((abs‘(𝑢𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝑣𝑆)) < 𝑠) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑐𝑧 → (abs‘((𝐵𝐹𝐶) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥))))
7271rexlimdvva 3033 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+)) → (∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ (∀𝑧𝐴 (𝑎𝑧 → (abs‘(𝐵𝑅)) < 𝑟) ∧ ∀𝑧𝐴 (𝑏𝑧 → (abs‘(𝐶𝑆)) < 𝑠)) → (∀𝑢𝑋𝑣𝑌 (((abs‘(𝑢𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝑣𝑆)) < 𝑠) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑐𝑧 → (abs‘((𝐵𝐹𝐶) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥))))
7316, 72syl5bir 233 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+)) → ((∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑎𝑧 → (abs‘(𝐵𝑅)) < 𝑟) ∧ ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑏𝑧 → (abs‘(𝐶𝑆)) < 𝑠)) → (∀𝑢𝑋𝑣𝑌 (((abs‘(𝑢𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝑣𝑆)) < 𝑠) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑐𝑧 → (abs‘((𝐵𝐹𝐶) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥))))
748, 15, 73mp2and 714 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+)) → (∀𝑢𝑋𝑣𝑌 (((abs‘(𝑢𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝑣𝑆)) < 𝑠) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑐𝑧 → (abs‘((𝐵𝐹𝐶) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥)))
7574rexlimdvva 3033 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+𝑢𝑋𝑣𝑌 (((abs‘(𝑢𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝑣𝑆)) < 𝑠) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑐𝑧 → (abs‘((𝐵𝐹𝐶) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥)))
7675imp 445 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∃𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+𝑢𝑋𝑣𝑌 (((abs‘(𝑢𝑅)) < 𝑟 ∧ (abs‘(𝑣𝑆)) < 𝑠) → (abs‘((𝑢𝐹𝑣) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥)) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑐𝑧 → (abs‘((𝐵𝐹𝐶) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥))
771, 76syldan 487 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑐𝑧 → (abs‘((𝐵𝐹𝐶) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥))
7877ralrimiva 2962 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑐 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑐𝑧 → (abs‘((𝐵𝐹𝐶) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥))
79 rlimcn2.4 . . . . . 6 (𝜑𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶ℂ)
8079adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑧𝐴) → 𝐹:(𝑋 × 𝑌)⟶ℂ)
8180, 2, 9fovrnd 6771 . . . 4 ((𝜑𝑧𝐴) → (𝐵𝐹𝐶) ∈ ℂ)
8281ralrimiva 2962 . . 3 (𝜑 → ∀𝑧𝐴 (𝐵𝐹𝐶) ∈ ℂ)
83 rlimcn2.2a . . . 4 (𝜑𝑅𝑋)
84 rlimcn2.2b . . . 4 (𝜑𝑆𝑌)
8579, 83, 84fovrnd 6771 . . 3 (𝜑 → (𝑅𝐹𝑆) ∈ ℂ)
8682, 25, 85rlim2 14177 . 2 (𝜑 → ((𝑧𝐴 ↦ (𝐵𝐹𝐶)) ⇝𝑟 (𝑅𝐹𝑆) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑐 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑐𝑧 → (abs‘((𝐵𝐹𝐶) − (𝑅𝐹𝑆))) < 𝑥)))
8778, 86mpbird 247 1 (𝜑 → (𝑧𝐴 ↦ (𝐵𝐹𝐶)) ⇝𝑟 (𝑅𝐹𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2908  wrex 2909  wss 3560  ifcif 4064   class class class wbr 4623  cmpt 4683   × cxp 5082  dom cdm 5084  wf 5853  cfv 5857  (class class class)co 6615  cc 9894  cr 9895   < clt 10034  cle 10035  cmin 10226  +crp 11792  abscabs 13924  𝑟 crli 14166
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-op 4162  df-uni 4410  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-er 7702  df-pm 7820  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-rlim 14170
This theorem is referenced by:  rlimadd  14323  rlimsub  14324  rlimmul  14325
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